第二编 专题三 赏规范答题 品技法指导(二) 三角函数与解三角形类解答题-【金版教程】2023高考文科数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（老教材，全国统考版）

　(2022·全国乙卷(理))(12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A). (1)证明：2a2＝b2＋c2； (2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长． 解题思路　(1)已知三角关系，求证三边关系，故需边角转化．先利用两角差的正弦公式展开，再利用正弦定理、余弦定理将角的正弦值及余弦值化为边即可得证． (2)结合(1)，利用余弦定理可以求得b＋c，进而求得△ABC的周长． 规范答题　(1)证明：因为sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A)， 所以sin C sin A cos B－sin C sin B cos A＝sin B sin C cos A－sin B sin A cos C，(1分) 所以ac·－2bc·＝－ab·，(3分) 即－(b2＋c2－a2)＝－，(5分) 所以2a2＝b2＋c2.(6分) (2)因为a＝5，cos A＝，由(1)得b2＋c2＝50，(7分) 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 则50－bc＝25，(8分) 所以bc＝，(9分) 故(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81， 所以b＋c＝9，(11分) 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14.(12分) 第(1)问评卷关键点：①是否有正弦两角差的展开过程；②是否有正确使用余弦定理展开化简的过程． 第(2)问评卷关键点：①是否有利用余弦定理推导bc＝的过程；②是否有b＋c＝9的过程；③计算出的周长的值是否正确． 1．常用的变角技巧 两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－. 2．常用的变式技巧 主要从函数名、次数、系数方面入手，常见的有： (1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论； (2)涉及sin x±cos x，sin x cos x的问题，常做换元处理，如令t＝sin x±cos x∈[－，]，将原问题转化为关于t的函数来处理； (3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等． 学科网（北京）股份有限公司 $