第二编 专题三 大题专讲 第3讲 三角函数与解三角形-【金版教程】2023高考文科数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（老教材，全国统考版）

　　第3讲　三角函数与解三角形 「考情研析」　1.以三角函数为背景，考查图象变换、性质的应用以及三角恒等变换．　2.利用正、余弦定理解三角形是高考命题的热点，解答题一般为两问：第(1)问一般为利用定理实施“边角互化”求角，多与三角形的内角和定理、诱导公式等相结合；第(2)问一般与三角形的面积、周长问题相结合，有时与基本不等式相结合求三角形的周长或面积的最值等． 函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数． (2)三角函数的周期性：f(x)＝A sin (ωx＋φ)和f(x)＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为；y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为． (3)根据y＝sin t的性质研究y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的性质： 由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间；由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心的横坐标；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴方程． 考向1 三角恒等变换与三角函数性质 例1　(2022·安徽省“皖东县中联盟”高三联考)已知平面向量m＝(cos x－1，sin x)，n＝(cos x＋1，2cos x)，函数f(x)＝m·n. (1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程； (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象经过点，θ∈，求sin θ的值． 解　(1)由题意可得，函数f(x)＝m·n＝(cos x－1)(cos x＋1)＋2sin x cos x＝2cos2x－1＋sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ， 所以函数f(x)的最小正周期为T＝π， 令2x＋＝＋kπ，k∈Z， 解得x＝＋，k∈Z， 即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z. (2)由(1)知f(x)＝2sin ， 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度， 可得y＝2sin 的图象， 再将y＝2sin 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到g(x)＝2sin 的图象， 因为函数g(x)的图象经过点， 可得2sin ＝，即sin ＝， 又因为θ∈，可得θ＋∈， 所以cos ＝－，所以sin θ＝sin ＝sin cos －cos sin ＝×－×＝. 　关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到f(x)＝A sin (ωx＋φ)的形式． 易错警示：由y＝sin ωx到y＝sin (ωx＋φ)＋k(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． (2022·四川省成都市高三第二次诊断性检测)已知函数f(x)＝sin ωx cos ωx＋sin2ωx，其中0<ω<6，且f＝. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若θ∈，且f(θ)＝，求sin2θ的值． 解　(1)由题意得f(x)＝sin 2ωx＋＝sin ＋. ∵f＝sin ＋＝， ∴sin ＝0，∴－＝k1π，k1∈Z， ∴ω＝6k1＋1，k1∈Z. 又0<ω<6，∴k1＝0，ω＝1. ∴f(x)＝sin ＋. 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. ∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)由(1)有f(θ)＝sin ＋＝， 得sin ＝. ∵θ∈， ∴2θ－∈， ∴cos ＝. ∴sin 2θ＝sin ＝sin ＋cos ＝×＋×＝. 考向2 三角函数性质与解三角形相结合 例2　(2022·河南省顶级名校高三下学期4月联合考试)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图，将该函数图象向右平移个单位长度后，再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数f(x)的图象．设g(x)＝f(x)sin x. (1)求函数g(x)的最小正周期T； (2)在△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，AD＝，设∠BAC＝θ，cos θ<0，g(θ)＝，求△ABC的面积． 解　(1)由题图可知，A＝1，＝2，解得ω＝2.又图象过点，∴2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∵0<φ<，∴φ＝. ∴y＝sin ，f(x)＝sin . ∵sin x sin ＝sin x ＝＋sin 2x ＝sin ＋， ∴g(x)＝sin ＋.∴T＝π. (2)∵g(θ)＝，∴sin ＝0. ∴2θ－＝kπ，k∈Z，即θ＝＋，k∈Z. ∵cos θ<0，即<θ<π， ∴θ＝. 设BC＝2m，AC