第二编 专题二 小题专讲 第2讲 导数及其应用-【金版教程】2023高考文科数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（老教材，全国统考版）

第2讲　导数及其应用 「考情研析」　1.导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点．　2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型． 1.导数的几何意义 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即k＝f′(x0)． (2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．函数的单调性 (1)在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0(f′(x)<0)，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增(单调递减)． (2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤 ①确定函数f(x)的定义域； ②求导数f′(x)； ③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； ④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间． 3．导数与极值 函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取得极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取得极小值． 4．求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤 (1)求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值； (2)比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考向1 导数的几何意义 例1　(1)(2022·湖南部分重点学校联考)已知函数f(x)＝x2＋f(0)·x－f′(0)·cos x＋2，其导函数为f′(x)，则(　　) A．f(0)＝－1 B．f′(0)＝1 C．f(0)＝0 D．f′(0)＝－1 答案　B 解析　由题意得f(0)＝2－f′(0).因为f′(x)＝2x＋f(0)＋f′(0)·sin x，所以f′(0)＝f(0)＝1. (2)(2022·黑龙江顶级名校二模)已知函数f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝x2－ln (－x)，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为(　　) A．x－y＝0 B．x－y－2＝0 C．x＋y－2＝0 D．3x－y－2＝0 答案　A 解析　当x>0时，－x<0，因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2－ln x＝x2－ln x(x>0)，所以f′(x)＝2x－(x>0)，所以f′(1)＝1，又f(1)＝1，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0.故选A. (3)已知曲线y＝x3＋，则曲线在点P(2，4)处的切线方程为__________________；曲线过点P(2，4)的切线方程为__________________________． 答案　4x－y－4＝0　x－y＋2＝0或4x－y－4＝0 解析　∵P(2，4)在曲线y＝x3＋上，y′＝x2，∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′＝4.∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′＝x.∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 　与导数几何意义有关问题的解题策略 (1)已知切点求切线方程：解决此类问题的步骤为①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). (2)已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. (3)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决． (4)根据切线的性质求倾斜角或参数值：已知曲线上一点P(x0，y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率k，再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k＝f′(x0)＝tan α，其中倾斜角α∈[0，π)，根据范围进一步求得角α或有关参数的值． 提醒：求曲线切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定是切点． 1．(2022·西安市高三年级第二次质