第二编 专题二 小题专讲 第1讲 函数的图象与性质-【金版教程】2023高考文科数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（老教材，全国统考版）

　第1讲　函数的图象与性质 「考情研析」　1.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，即函数图象的判断；二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决有关函数的奇偶性、周期性等性质及分段函数问题．　2.抽象函数的奇偶性、周期性和对称性是近几年高考命题的热点，主要以选择题形式出现． 1.函数的单调性 单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． 2．函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数；都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期． 3．关于函数的周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性 ①若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a； ②若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a； ③若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a； ④若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则函数f(x)的周期为2|b－a|； ⑤若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为2|b－a|； ⑥若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为4|b－a|； ⑦若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a； ⑧若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a． (2)函数图象的对称性 ①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称； ②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a，0)对称； ③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称． 4．函数与方程 (1)零点定义：x0为函数f(x)的零点⇔f(x0)＝0⇔(x0，0)为f(x)的图象与x轴的交点． (2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法：解方程f(x)＝0； ②零点存在定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)·f(b)＜0，判定函数在区间(a，b)内存在零点； ③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解． 考向1 分段函数的应用 例1　(1)已知f(x)＝则满足2f(f(m))＋1＝2f(m)＋1的实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，－1]∪(0，e2] C．(－∞，1] D．(－∞，－1]∪(0，1] 答案　B 解析　令t＝f(m)，则2f(t)＋1＝2t＋1，∴f(t)＝2t－，∴f(m)＝t≤0.当m>0时，ln m－2≤0，解得0<m≤e2；当m≤0时，2m－≤0，解得m≤－1.综上所述，实数m的取值范围为(－∞，－1]∪(0，e2]. (2)(2022·黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学高三第三次模拟考试)若f(x)＝则f(f(－1))＝________． 答案　1 解析　f(f(－1))＝f(sin (－π))＝f(0)＝e0＝1. (3)(2022·山东省泰安市高三下学期5月三模检测)已知函数f(x)＝则f(2022)＝________． 答案　 解析　∵f(x)＝∴f(2022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝f(－2)＝e－2＋1＝. 　分段函数问题的五种常见类型及解题策略 求函数值 弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算 求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小 解不等式 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提 求参数 “分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程 利用函数性质求值 依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解 1．(2022·山东省德州市高考二模)设函数f(x)＝若f(a)＝1，则a＝________． 答案　0或e 解析　当a≤0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a＝0；当a>0时，f(a)＝ln a＝1，解得a＝e.故a＝0或e. 2．(2022·辽宁省锦州市高三第一次质量检测)已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________． 答案　 解析　当x<0时，<0；当x≥0时，2x