第二编 专题二 大题专讲 第5讲 利用导数研究不等式问题-【金版教程】2023高考文科数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（老教材，全国统考版）

　　第5讲　利用导数研究不等式问题 「考情研析」　不等式的证明及恒成立问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，用到的方法往往是依据不等式的特点，等价变形、构造函数、借助图象观察或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理． 1.与不等式f(x)>a恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题 (1)不等式f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a． (2)不等式f(x)>a有解⇔f(x)max>a． (3)不等式f(x)>a无解⇔f(x)max≤a． 2．无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质(单调性和最值)，达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构造，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝． 考向1 利用导数证明不等式问题 角度1　单变量不等式的证明 例1　(1)已知函数f(x)＝x2＋ln x，g(x)＝f(x)－2ax.(a∈R) ①当a＝0时，求f(x)在区间上的最小值； ②若∀x∈(1，＋∞)，g(x)<0恒成立，求a的取值范围． 解　①函数f(x)＝x2＋ln x的定义域为(0，＋∞)， 当a＝0时，f(x)＝－x2＋ln x，则f′(x)＝－x＋＝＝. 当x∈时，f′(x)>0；当x∈[1，e]时，f′(x)<0， ∴f(x)在区间上是增函数，在区间[1，e]上为减函数， 又f＝－1－，f(e)＝1－， ∴f(x)min＝f(e)＝1－. ②g(x)＝f(x)－2ax＝x2－2ax＋ln x， 则g(x)的定义域为(0，＋∞)， g′(x)＝(2a－1)x－2a＋ ＝ ＝， 若a>， 则令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝， 当x2>x1＝1，即<a<1时， 在(0，1)上有g′(x)>0，在(1，x2)上有g′(x)<0，在(x2，＋∞)上有g′(x)>0， 此时g(x)在区间(x2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有g(x)∈(g(x2)，＋∞)，不符合题意； 当x2≤x1＝1，即a≥1时，同理可知，g(x)在区间(1，＋∞)上有g(x)∈(g(1)，＋∞)，也不符合题意． 若a≤，则有2a－1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有g′(x)<0， 从而g(x)在区间(1，＋∞)上是减函数； 要使g(x)<0在此区间上恒成立，只需满足g(1)＝－a－≤0⇒a≥－，∴－≤a≤. 综上可知，a的取值范围是. (2)已知函数f(x)＝x2＋2ax(a>0)与g(x)＝4a2ln x＋b的图象有公共点P，且在点P处的切线相同． ①若a＝1，求b的值； ②求证：f(x)≥g(x). 解　①设P(x0，y0)(x0>0)， 则x＋2ax0＝4a2ln x0＋b. 又f′(x)＝2x＋2a，g′(x)＝， ∴2x0＋2a＝， ∵a＝1，∴x＋x0－2＝0，解得x0＝1. ∴4×1×0＋b＝1＋2＝3，即b＝3. ②证明：由(1)2x0＋2a＝， 即x＋ax0－2a2＝0， 解得x0＝a. ∴a2＋2a2－4a2ln a－b＝0. 令h(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－4a2ln x－b， 则h′(x)＝2x＋2a－＝ ＝， 当0<x<a时，h′(x)<0；当x>a时，h′(x)>0， 故h(x)在(0，a)上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数， ∴x＝a时，函数h(x)取得极小值即最小值， ∴h(x)≥h(a)＝a2＋2a2－4a2ln a－b＝0， ∴f(x)≥g(x). 　证明单变量不等式的两种方法 (1)利用单调性证明单变量不等式：一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)内成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可． (2)利用最值证明单变量不等式：利用最值证明单变量不等式的常见形式是f(x)>g(x).证明技巧：先将不等式f(x)>g(x)移项，即构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，转化为证明不等式h(x)>0，再次转化为证明h(x)min>0，因此，只需在所给的区间内，判断h′(x)的符号，从而判断其单调性，并求出函数h(x)的最小值，即可得证． 1．(2022·郑州一中高三模拟预测)已知函数f(x)＝ax ln x(a≠0). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝1时，证明：f(x)<ex＋sin x－1. 解　(1)依题意知x∈(0，＋∞)，f′(x)＝a ln x＋a＝a(ln x＋1)， 令f′(x)＝0得x＝， 当a>0时，在上f′(x)<0，f(x)单调递减，在上f′(x)>0，f(x)单调递增； 当a<0时，在上f′(x)>0，f(x)单调递增，在