第二编 专题二 大题专讲 第4讲 利用导数研究函数的零点问题-【金版教程】2023高考文科数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（老教材，全国统考版）

　第4讲　利用导数研究函数的零点问题 「考情研析」　高考对导数的考查，多以对数函数、指数函数的形式出现，而且属于压轴题，对能力要求较高．通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断函数的零点(方程的根)的情况是常考题型，解题时注意利用数形结合思想、分类讨论思想等． 考向1 利用导数讨论函数的零点个数 例1　(2022·汕头三模)证明函数g(x)＝ln x－x＋2sin x在(0，π)上有且只有两个零点． 证明　g(x)＝ln x－x＋2sin x，x∈(0，π)， 则g′(x)＝－1＋2cos x， 令φ(x)＝＋2cos x－1，则φ′(x)＝－－2sin x. 当x∈(0，π)时，φ′(x)＝－－2sin x<0， 则φ(x)在(0，π)上单调递减， ∵φ＝>0，φ＝－1<0， ∴存在x0∈，使得φ(x0)＝g′(x0)＝0. 当x变化时，g′(x)，g(x)变化如下表： x (0，x0) x0 (x0，π) g′(x) ＋ 0 － g(x) 单调递增 极大值g(x0) 单调递减 而g＝ln －＋>0，g(π)＝ln π－π<ln e2－π＝2－π<0， 则g(x0)>g>0，又g＝ln －＋1， 令h(x)＝ln x－x＋1，其中0<x<1， 则h′(x)＝－1＝>0， ∴函数h(x)在(0，1)上单调递增，则h(x)<h(1)＝0， ∴h＝ln －＋1<0， 由零点存在定理可知，函数g(x)在(0，π)上有且只有两个零点． 1．利用导数求函数零点的常用方法 (1)构造函数g(x)(其中g′(x)易求，且g′(x)＝0可解)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数． (2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点． 2．根据参数确定函数零点的个数，解题的基本思想是“数形结合”，即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)作出函数的大致图象，然后通过函数图象得出其与x轴交点的个数，或者两个相关函数图象交点的个数，基本步骤是“先数后形”． (2022·河南省顶尖名校高三下学期第三次素养调研)已知函数f(x)＝ax ln x＋x2，讨论f(x)的零点个数． 解　由题意f(x)＝x(a ln x＋x)(x>0)，只需考虑函数g(x)＝a ln x＋x在(0，＋∞)上的零点的个数． ①当a＝0时，函数g(x)＝x在(0，＋∞)上没有零点． ②当a>0时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 取x＝e，g(e)＝a ln e＋e＝－10＋e<0，x≥1时，g(x)≥1，此时g(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点x0，且x0∈(0，1). ③当a<0时，g′(x)＝，则当0<x<－a时，g′(x)<0；当x>－a时，g′(x)>0. 所以g(x)在(0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增． 则x＝－a是函数g(x)在(0，＋∞)上唯一的极小值点，且g(x)极小值＝a ln (－a)－a. 当x→0时，g(x)>0，当x→＋∞时，g(x)>0. 因此，若g(x)极小值>0，即－e<a<0时，g(x)没有零点； 若g(x)极小值＝0，即a＝－e时，g(x)有唯一零点； 若g(x)极小值<0，即a<－e时，g(x)有且仅有两个零点． 综上所述，当a<－e时，f(x)有两个零点；当a>0或a＝－e时，f(x)有唯一零点；当－e<a≤0时，f(x)没有零点． 考向2 已知函数的零点个数求参数的取值范围 例2　已知函数f(x)＝x＋a ln x，g(x)＝x2ex，a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a＝2时，方程g(x)＝mf(x)有两个实根，求实数m的取值范围． 解　(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 因为f(x)＝x＋a ln x，a∈R， 所以f′(x)＝1＋＝. ①当a≥0时，f′(x)>0在区间(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． ②当a<0时， 由f′(x)>0，得x>－a， 由f′(x)<0，得0<x<－a， 所以函数f(x)的单调递增区间为(－a，＋∞)，单调递减区间为(0，－a). (2)当a＝2时，方程g(x)＝mf(x)有两个实根，即关于x的方程x2ex－m(x＋2ln x)＝0有两个实根， 令h(x)＝x2ex－m(x＋2ln x)， 则h(x)有两个零点． h(x)＝x2ex－m(x＋2ln x)＝ex＋2ln x－m(x＋2ln x)， 令t＝x＋2ln x，由(1)得t是关于x的增函数，且t∈R， 所以只需函数u(t)＝et－mt有两个零点． 由u(t)＝0，得＝， 令φ(t)＝