第二编 专题二 大题专讲 第3讲 利用导数研究函数的单调性、极值、最值-【金版教程】2023高考文科数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（老教材，全国统考版）

　　　　第3讲　利用导数研究函数的单调性、极值、最值 「考情研析」　高考主要考查利用导数探求函数的单调性、极值(最值)的基本方法，解题时注意数形结合思想、分类讨论思想和函数方程思想的应用． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考向1 利用导数研究函数的单调性 例1　(1)(2022·江西省八所重点中学高三4月联考)已知函数f(x)＝x2－ax＋ln x(a∈R)，试讨论函数f(x)的单调性． 解　由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋－a(a∈R). ∵x＋≥2， ∴当a≤2时，f′(x)≥0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>2时，f′(x)＝， 由f′(x)＝0可得，x1＝， x2＝， 且x2>x1>0，则f(x)在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增． (2)已知函数h(x)＝ln x－ax2－2x. ①若函数h(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围； ②若函数h(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围； ③若函数h(x)在区间[1，4]上不单调，求实数a的取值范围． 解　h′(x)＝－ax－2. ①若函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，则当x>0时，－ax－2<0有解， 即a>－有解． 设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min. 又G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1. 所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞). ②由h(x)在[1，4]上单调递减，所以当x∈[1，4]时， h′(x)＝－ax－2≤0恒成立， 则a≥－恒成立，即a≥G(x)max. 又G(x)＝－1， 因为x∈[1，4]，所以∈， 所以G(x)max＝－(此时x＝4)， 所以a≥－. 故实数a的取值范围是. ③因为h(x)在区间[1，4]上不单调， 所以h′(x)＝0在开区间(1，4)上有解， 则a＝－＝－1在(1，4)上有解． 易知G(x)在(1，4)上是增函数， 所以－1<G(x)<－， 因此实数a的取值范围是. 1．讨论含参数函数的单调性 (1)确定函数定义域． (2)求f′(x)，并整理分解因式(如果能分解因式). (3)优先考虑特殊情况：即参数取哪些值时f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．从而得到相应的单调性. (4)再考虑一般情况： 由得单调递增区间． 由得单调递减区间． (5)答案：单调性能合并则合并答之，不能合并则分而答之． (6)检验同类单调区间之间的符号． 2．利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 (1)由函数在区间[a，b]上单调递增(或递减)可知f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立． (2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题. (3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0.若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别处有f′(x)＝0，则参数可取此值． (4)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解． 1．(2022·江苏省南通市海安高级中学高三下学期4月阶段性检测(二模))已知函数f(x)＝ex＋x cos x.判断函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并说明理由． 解　函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，理由如下： 因为f(x)＝ex＋x cos x， 所以f′(x)＝ex＋cos x＋x(－sin x). 记g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1， 令g′(x)＝0，得x＝0. 当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 所以g(x)min＝g(0)＝0， 所以g(x)＝ex－x－1≥0，即ex≥x＋1. 又sin x≤1，cos x≥－1， 所以f′(x)≥x＋1＋cos x＋x(－sin x)＝x(1－sin x)＋(1＋cos x)≥0， 所以函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数． 2．已知函数f(x)＝x3－ax2＋b，g(x)＝a2ln x＋m. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a>0时，设h(x)＝f′(x)，若h(x)与g(x)的图象有公共点，且在公共点处的切线方程相同，求实数m的最大值． 解　(1)因为f(x)＝x3－ax2＋b，x∈R， 所以f′(x)＝x2－2ax＝x. 当a＝0时，f′(x)＝x2≥0，所以f(x)在R上单调递增． 当a<0时，由f′(x)>0，得x>0或x<a， 由f′(x)<0，得a<x<0， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 当a>0时，由f′(x)>0，得