第二编 专题一 第3讲 不等式及线性规划-【金版教程】2023高考文科数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（老教材，全国统考版）

第3讲　不等式及线性规划 「考情研析」　1.对不等式的性质及不等式解法的考查一般不单独命题，常与集合、函数图象与性质等相结合命题，也常渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中．　2.基本不等式主要渗透在其他知识点中求最值．　3.简单的线性规划常以选择题或填空题形式呈现，一般难度不大． 1.不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2)＋≥2(a，b同号). (3)ab≤(a，b∈R). (4)≥(a，b∈R). 3．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2；(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值P，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 4．线性规划最优解问题 (1)如果目标函数只存在一个最优解，那么最优解通常在可行域的顶点处取得；如果目标函数存在多个最优解，那么最优解通常在可行域的边界取得． (2)最优解不一定唯一． 5．常见的目标函数 (1)截距型：形如z＝ax＋by(b≠0)，可以转化为y＝－x＋，利用直线在y轴上的截距大小确定目标函数的最值． (2)点到点的距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方． (3)斜率型：形如z＝，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率． (4)点到直线的距离型：形如z＝|Ax＋By＋C|，表示区域内的动点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的 倍． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考向1 不等式的性质及解法 例1　(1)若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　) A．> B．< C．> D．< 答案　D 解析　解法一：∵c<d<0，∴－c>－d>0.∴>>0.又a>b>0，∴>，∴<.故选D. 解法二：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2.则＝－1，＝－1，排除A，B.又＝－，＝－，∴<，排除C.故选D. (2)(2022·贵阳一中月考)在R上定义运算⊗：M⊗N＝(1＋M)(1－N)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(0，2) C． D． 答案　B 解析　由题意知，(1＋x－a)(1－x－a)<1对任意实数x均成立，即(1－a)2－x2<1恒成立，所以(1－a)2<1＋x2恒成立，所以只需(1－a)2<(1＋x2)min，又(1＋x2)min＝1，所以(1－a)2<1，解得0<a<2.故选B. (3)(2022·兰州西北师大附中期中)若关于x的不等式(ax－1)2<x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　∵不等式(ax－1)2<x2，即[(a＋1)x－1][(a－1)x－1]<0恰有2个整数解，∴(a＋1)(a－1)>0，解得a>1或a<－1.当a>1时，不等式的解集为，易知∈，∴2个整数解为1，2，∴2<≤3，解得≤a<；当a<－1时，不等式的解集为，易知∈，∴2个整数解为－1，－2，∴－3≤<－2，解得－<a≤－.综上所述，实数a的取值范围是.故选B. 1．比较不等式大小的一般方法 (1)直接利用不等式性质． (2)利用函数的单调性． (3)特殊值验证法． 2．不等式恒成立问题的解题方法 (1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a，f(x)<a对一切x∈I恒成立⇔f(x)max<a. (2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象的上方． (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等. 1．(2022·江西省上饶市六校高三第一次联考)已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．若a>b，则a2>b2 B．若a>b，则< C．若a>b>c>0，则< D．若a>b>c>0，则> 答案　D 解析　对于A，若a＝1，b＝－2，则a2＝1<b2＝4，故A错误；对于B，若a＝1，b＝－