第二编 专题一 第2讲 复数与平面向量-【金版教程】2023高考文科数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（老教材，全国统考版）

第2讲　复数与平面向量 「考情研析」　1.复数主要考查复数的概念、复数的四则运算及复数的几何意义，注意计算的准确性，以选择题或填空题形式出现．　2.平面向量以线性运算、平面向量的数量积为主要考查点，主要以选择题或填空题形式出现，注意坐标法和基底法在解题中的应用． 1.复数的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R． 2．复数运算中常见的结论 (1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i． (2)－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R). (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*). (4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*). 3．共轭复数的性质 (1)||＝|z|． (2)＝1＋2． (3)＝1－2． (4)z·＝|z|2． (5)z＋＝2a(z＝a＋bi，a，b∈R). (6)z－＝2bi(z＝a＋bi，a，b∈R). (7)＝1·2． 4．复数模的运算性质 设z1，z2∈C，有 (1)|z1·z2|＝|z1||z2|；(2)＝；(3)|zn|＝|z|n(n∈N*). 5．常见轨迹 (1)|z－z1|＝r表示以z1对应的点为圆心，r为半径的圆. (2)|z－z1|＋|z－z2|＝2a，其中|z1－z2|<2a，则轨迹为椭圆． 6．平面向量的三个性质 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝_． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝_． (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝_． 7．向量平行(共线) (1)向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa． (2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． 8．向量垂直 向量a，b是非零向量，a⊥b⇔a·b＝0⇒x1x2＋y1y2＝0． 9．向量中常用的结论 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. (1)在＝λ的条件下，存在λ使得I为△ABC的内心；a＋b＋c＝0⇔P为△ABC的内心． (2)||＝||＝||⇔P为△ABC的外心． (3)＋＋＝0⇔G为△ABC的重心． (4)·＝·＝·⇔P为△ABC的垂心. 10．奔驰定理 如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． 考向1 复数的概念及运算 例1　(1)(2022·陕西省西安中学二模)若复数z＝i2022＋，则的虚部为(　　) A．－ B． C．－i D．i 答案　A 解析　因为z＝i2022＋＝－1＋＝－1＋＝－1＋＋i＝－＋i.所以＝－－i，故的虚部为－. (2)(2022·江苏省南通市海安高级中学高三下学期4月阶段性检测)已知i为虚数单位，复数z满足|z－i|＝|＋3i|，则z的虚部为(　　) A．2 B．1 C．－2 D．－1 答案　A 解析　令z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，|z－i|＝|a＋bi－i|＝，|＋3i|＝|a＋(3－b)i|＝，∵|z－i|＝|＋3i|，∴ ＝，解得b＝2，即z的虚部为2.故选A. (3)(2022·江苏省徐州市第七中学高三下学期4月月考)复数z满足|z－(5＋5i)|＝2，则z在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－(5＋5i)|＝2，所以(x－5)2＋(y－5)2＝4，即z对应的点在以(5，5)为圆心，2为半径的圆上，所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限．故选A. (4)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________． 答案　2 解析　解法一：设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x＋y＝x＋y＝4.因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝x＋y＋x＋y＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝()2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝＝＝＝2. 解法二：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝－a＋(1－b)i，则 即所以|z1－z2|2＝(2a－)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝1