第一编 第4讲 转化与化归思想-【金版教程】2023高考文科数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（老教材，全国统考版）

第4讲　转化与化归思想 「思想方法解读」　转化与化归思想就是把那些待解决或难解决的问题，通过某种手段，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解．使用化归思想的原则是：化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为已知． 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，它几乎可以渗透到所有的数学内容和解题过程中． 热点1 一般与特殊的相互转化 例1　过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点．若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋＝(　　) A．2a B． C．4a D． 答案　C 解析　抛物线y＝ax2(a＞0)的标准方程为x2＝y(a＞0)，焦点F.不妨设过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝，∴＋＝4a. 　一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，快捷地得到答案． 在△ABC中，三边长a，b，c满足a＋c＝3b，则tan tan 的值为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由题意，令a＝4，c＝5，b＝3，此时C＝90°，则tan ＝1.由tan A＝，得＝，解得tan＝(负值舍去).所以tan tan ＝×1＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 热点2 函数、方程、不等式间的转化 例2　(2022·河南新乡二模)已知α，β是锐角，ln (tan αtan β)>－tan α，则(　　) A．sin α>sin β B．cos α>cos β C．cos α>sin β D．sin β>cos α 答案　D 解析　ln (tan αtan β)>－tan α，可化为ln tan α＋tan α>－ln tan β＋，即ln tan α＋tan α>ln ＋，而函数f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上为增函数，所以tan α>，即tan α>tan ，又α，β是锐角，所以α，β∈，所以－β∈，所以α>－β，即β>－α，所以sin β>sin ，即sin β>cos α.故选D. 　函数、方程与不等式相互转化的应用 函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题． (2022·安徽亳州高三期末)已知a<0，若x>1时，e－x－ln e－x≥xa－ln xa恒成立，则a的最小值为(　　) A．－1 B．－2 C．－e D．－2e 答案　C 解析　令f(x)＝x－ln x，0<x<1，则f′(x)＝1－＝<0，所以f(x)＝x－ln x在(0，1)上单调递减．因为a<0，x>1，所以e－x∈(0，1)，xa∈(0，1)，因为e－x－ln e－x≥xa－ln xa，所以e－x≤xa，两边取对数得ln e－x≤ln xa，即－x≤a ln x，故≤a，令g(x)＝，x>1，g′(x)＝，当x∈(1，e)时，g′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)max＝g(e)＝－e，故a≥－e.综上，a的最小值为－e.故选C. 热点3 正难则反的转化 例3　(2022·江苏泰州高三模拟)若对任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________． 答案　 解析　由题意得g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若存在t∈[1，2]，使g(x)在区间(t，3)上为单调函数，则g(x)在区间(2，3)上为单调函数，则①g′(x)≥0在(2，3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(2，3)上恒成立．由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x在x∈(2，3)上恒成立，∴m＋4≥－3×2恒成立，则m＋4≥－5，即m≥－9；由②得m＋4≤－3x在x∈(2，3)上恒成立，则m＋4≤－9，即m≤－.∴使函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的实数m的取值范围为. 　正与反的转化法 正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，而不成立的情形相对很少，则从反面考虑较简单，因此