第一编 第3讲 分类与整合思想-【金版教程】2023高考文科数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（老教材，全国统考版）

第3讲　分类与整合思想 「思想方法解读」　分类与整合思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题，通过对基础问题的解答解决原问题的思维策略．实质上就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略，使用分类与整合思想应明白这样几点：一是引起分类整合的原因；二是分类整合的原则，不重不漏，分类标准统一；三是明确分类整合的步骤；四是将各类情况总结归纳． 热点1 公式、定理的分类整合法 例1　(1)(2022·福建漳州高三第二次模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，a2＝2，a3＝3，记bn＝an＋an＋1＋an＋2且bn＋1－bn＝2，则S31＝(　　) A．171 B．278 C．351 D．395 答案　C 解析　∵bn＋1－bn＝2，bn＋1－bn＝an＋1＋an＋2＋an＋3－(an＋an＋1＋an＋2)＝an＋3－an＝2，∴a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，S31＝(a1＋a4＋…＋a31)＋(a2＋a5＋…＋a29)＋(a3＋a6＋…＋a30)＝1×11＋＋2×10＋＋3×10＋＝351.故选C. (2)(2022·嘉兴市高三4月模拟)在锐角三角形ABC中，AB＝3，B＝，点D在线段BC上，且DC＝2BD，AD＝，则sin ∠ADC＝________，AC＝________． 答案　　3 解析　在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin ∠ADB＝，所以sin ∠ADC＝sin (π－∠ADB)＝sin ∠ADB＝.由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B，即7＝9＋BD2－3BD，解得BD＝1或BD＝2.当BD＝1时，BC＝3，此时AB＝BC且B＝，即△ABC为等边三角形，则AC＝3；当BD＝2时，BC＝6，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B，即AC2＝9＋36－2×3×6×＝27，解得AC＝3，此时AC2＋AB2＝BC2，即△ABC为直角三角形，不符合题意，故舍去． 　解决由概念、法则、公式引起的分类整合问题的步骤 第一步：确定需分类的目标与对象．一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标； 第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分； 第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理； 第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理． (2022·江西省南昌市实验中学高三第一次模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，2Sn＝an＋1an，则S10＝(　　) A．100 B．110 C．50 D．55 答案　D 解析　∵2Sn＝an＋1an　①，a1＝1，∴当n＝1时，2a1＝a2a1，得a2＝2，当n≥2时，2Sn－1＝anan－1　②，由①－②得2an＝an(an＋1－an－1)，又2Sn＝an＋1an，可得an≠0，进而an＋1－an－1＝2，∴数列{an}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，故a2n－1＝2n－1；数列{an}的偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列，故a2n＝2n.∴当n为正整数时，an＝n，则S10＝1＋2＋3＋…＋10＝＝55.故选D. 热点2 位置关系的分类整合法 例2　(2022·河南省开封市高三下学期核心模拟)若双曲线－＝1的焦距为4，则实数m＝________． 答案　4或－ 解析　当焦点在x轴时，可得解得m＝4；当焦点在y轴时，可得解得m＝－. 所以m＝4或－. 　三类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类整合 (1)直线由斜率引起的位置变化． (2)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化． (3)立体几何中点、线、面的位置变化等． (2022·山西省运城市高中联合体高三下学期第四次模拟)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝m(m∈R)，设圆C上到直线l的距离为1的点的个数为S，当0≤m<3时，S的可能取值共有(　　) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 答案　B 解析　因为圆心C到直线l的距离为∈[0，3)，所以当＝1时，圆C上到直线l的距离为1的点的个数为3；当∈(1，3)时，圆C上到直线l的距离为1的点的个数为2；当∈[0，1)时，圆C上到直线l的距离为1的点的个数为4.因此S的可能取值共有3种，故选B. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 热点3 含参数问题的分类整合法 例3　(2