第一编 第2讲 数形结合思想-【金版教程】2023高考文科数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（老教材，全国统考版）

第2讲　数形结合思想 「思想方法解读」　数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面．数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化、几何问题代数化． 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题． 热点1 数形结合化解方程、不等式问题 例1　(2022·山东烟台三模)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝ax－1有且仅有三个实数解，则实数a的取值范围为(　　) A.(0，1) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 答案　B 解析　作出函数f(x)的图象如图．依题意知，方程f(x)＝ax－1有且仅有三个实数解，即y＝f(x)与y＝ax－1的图象有且仅有三个交点，因为直线y＝ax－1必过(0，－1)，当a≤0时，方程f(x)＝ax－1不可能有三个实数解，则必有a>0，当直线y＝ax－1与曲线y＝ln x在x>1时相切时，设切点坐标为(x0，ln x0)，由f′(x)＝，得f′(x0)＝，则切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，即y＝·x＋ln x0－1，又切线方程为y＝ax－1，所以a＝且ln x0－1＝－1，则x0＝1，所以a＝1，即当a>0时，y＝ax－1与y＝f(x)的图象在(0，＋∞)上有且仅有一个交点，要使方程f(x)＝ax－1有且仅有三个实数解，则当x≤0时，f(x)＝x2＋2x－1与y＝ax－1的图象有两个交点，设直线y＝ax－1与f(x)＝x2＋2x－1的图象切于点(0，－1)，由f′(x)＝2x＋2，得f′(0)＝2，即a＝2，所以0<a<2.故选B. 　用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形，转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．数形结合思想处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形上找出解题思路．因此，往往构造熟知的函数，作出函数图象，利用图象的交点和图象的位置求解不等式． 　(2022·江西省新余市第一中学高三5月全真模拟)若不等式a ln (x＋1)－2x3＋3x2>0在区间(0，＋∞)内的解集中有且仅有三个整数，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　不等式a ln (x＋1)－2x3＋3x2>0，即a ln (x＋1)>2x3－3x2，令f(x)＝a ln (x＋1)，g(x)＝2x3－3x2，则g′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1).令g′(x)>0，得x>1或x<0；令g′(x)<0，得0<x<1，∴g(x)在(－1，0)和(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，且g(1)＝－1，g(0)＝g＝0.如图所示，当a≤0时，f(x)>g(x)至多有一个整数解．当a>0时，f(x)>g(x)在区间(0，＋∞)内的解集中有且仅有三个整数，只需即解得<a≤.故选C. 热点2 数形结合化解平面向量问题 例2　(2022·广东惠州一中高三月考)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝2，且(b－c)·(3b－c)＝0，则|c－a|的最小值为(　　) A．2＋1 B．3－3 C．－1 D．2－2 答案　D 解析　因为|a|＝|b|＝a·b＝2，所以cos 〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，如图所示．不妨设A(1，)，B(2，0)，C(x，y)，则a＝＝(1，)，b＝＝(2，0)，c＝＝(x，y)，所以b－c＝(2－x，－y)，3b－c＝(6－x，－y)，因为(b－c)·(3b－c)＝0，所以(2－x)(6－x)＋y2＝0，即(x－4)2＋y2＝4，表示点C在以M(4，0)为圆心，2为半径的圆上，所以|c－a|的最小值为|AM|－r＝－2＝2－2.故选D. 　建坐标系可以实现平面向量问题的全面运算，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，化繁为简，轻松破解． (2022·山东省德州市教育科学研究院三模)已知平面向量a＝(2，0)，b＝(0，1)，且非零向量c满足(a－2c)⊥(b－c)，则|c|的最大值是(　　) A．1 B． C．