第一编 第1讲 函数与方程思想-【金版教程】2023高考文科数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（老教材，全国统考版）

第1讲　函数与方程思想 「思想方法解读」　函数的思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．如求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等问题，往往都可利用函数思想，构建函数将其转化为函数问题． 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想．如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量等问题． 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则在动中求静，研究运动中的等量关系． 热点1 函数与方程思想在不等式中的应用 例1　(2022·广东省汕头市高三第一次模拟)已知a＝，b＝，c＝，则下列不等式正确的是(　　) A．c>b>a B．a>b>c C．b>a>c D．b>c>a 答案　C 解析　a＝，b＝＝，c＝，令f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，当0<x<e时，f′(x)>0；当x>e时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，因为2<e<5，所以f(2)<f(e)，f(e)>f(5)，因为f(2)－f(5)＝－＝＝>0，所以f(2)>f(5)，所以b>a>c.故选C. 　函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解． 例1关键是变形，b＝＝，其次是构造函数f(x)＝(x>0)，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可． (2022·河南省济源市、平顶山市、许昌市高三第二次质量检测)已知a＝，b＝e，c＝ln ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b>a>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a 答案　B 解析　记函数f(x)＝ex－x－1，可得f′(x)＝ex－1.令f′(x)>0，解得x>0；令f′(x)<0，解得x<0，所以f(x)＝ex－x－1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，即ex≥x＋1，当x＝－时，有e>－＋1＝>，即b>a.记g(x)＝ln x－x＋1(x>0)，可得g′(x)＝－1.令g′(x)>0，解得0<x<1；令g′(x)<0，解得x>1，所以g(x)＝ln x－x＋1在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝0，即ln x≤x－1，当x＝时，有ln <－1＝，又b＞，所以b＞c.当x＝时，有ln ＜－1，即－ln ＜－，所以ln ＞，即c＞a.所以b>c>a.故选B. 热点2 函数与方程思想在数列中的应用 例2　(2022·新疆维吾尔自治区普通高考第三次适应性检测)已知数列{an}是以1为首项，3为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，设cn＝abn，Tn＝c1＋c2＋…＋cn(n∈N*)，当Tn<2022时，n的最大值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　C 解析　由题意知，an＝1＋3(n－1)＝3n－2，bn＝3n－1，cn＝abn＝a3n－1＝3×3n－1－2＝3n－2，Tn＝3－2＋32－2＋…＋3n－2＝－2n＝(3n－1)－2n，又Tn＋1－Tn＝(3n＋1－1)－2(n＋1)－(3n－1)＋2n＝3n＋1－2>0，故{Tn}为递增数列，又T6＝×(36－1)－2×6＝1080，T7＝×(37－1)－2×7＝3265，故当Tn<2022时，n的最大值为6.故选C. 　数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，解决问题的关键是利用函数的单调性研究最值问题．例2关键是先求出an，bn，进而得到cn，然后由分组求和得Tn＝(3n－1)－2n，再利用Tn＋1－Tn>0判断出{Tn}为递增数列，从而求出最大值． (2022·江西省宜春市高三4月模拟)已知数列{an}满足an＝(2×4n－3×2n＋1)，记数列的前n项和为Tn，若Tn<λ恒成立，则λ的最小值为________． 答案　5 解析　因为an＝(2×4n－3×2n＋1)，所以＝＝＝＝＝5×，令bn＝＝5×，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝5×＋5×＋…＋5×＝5×＝5×，因为2n＋1－1>0，所以5×<5，所以Tn<5，又因为Tn<λ恒成立，所以λ≥5，所以λ的最小值为5. 热点3 函数与方程思想在立体几何中的应用