第02讲 函数的图像-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第02讲 函数的图像 一、课标要求： 函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题汇总发挥重要作用。函数是贯穿高中数学课程的主线。 1．函数概念与性质 本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。 （1）函数概念 ①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（参见案例2），体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。 ②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。 ③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 （2）函数性质 ①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。 ②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。 ③结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。 2．幂函数、指数函数、对数函数 幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。本单元的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。 内容包括：幂函数、指数函数、对数函数。 （1）幂函数 通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。 （2）指数函数 ①通过对有理指数幂 、实数指数幂（a>0,且，a≠1，x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。 ②通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。 ③能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 （3)对数函数 ①理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。 ②通过具体实例，了解对数函数的概念。能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 ③知道对数函数与指数函数 互为反函数（a＞0，且a≠1）。　 二、知识梳理 1.图像的变换 （1） 两个函数图象间的变换及函数关系：【会根据变换写解析式】 平移变换： ①； ② （2）翻折变换： ③； ④(偶函数)； ——去左翻右（把在y轴右侧的图像对称到左边）； ——上翻下，上不动（在x轴下面无图像） （3）伸缩变换： ⑤； ⑥. ——纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍； ——横坐标不变，纵坐标长为原来的A倍. （4） (对称变换)两个函数图象间的对称性及函数关系：【会根据对称性写解析式】 ①关于直线(即轴)对称； ④关于直线对称； ②关于直线即轴)对称； ⑤关于直线对称． ③关于原点对称； ⑥关于点对称； 2.函数图像的应用 （1）.利用函数图像确定函数解析式 利用函数图像确定函数解析式时,要注意综合应用奇偶性、单调性等相关性质，同时结合自变量与函数值的对应关系. （2）利用函数图像研究两函数图像交点的个数 利用函数图像研究两函数图像交点的个数时,常将两函数图像在同一坐标系内作出,利用数形结合求解参数的取值范围. （3）利用函数图像研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题,从而利用数形结合求解. （4）利用函数图像研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时,可以通过函数图像来研究方程的根,方程的根就是函数的图像与轴交点的横坐标,方程的根就是函数与图像交点的横坐标. 【会读图】读出定义域，值域，最值，极值，零点，解集，单调性，奇偶性（对称性），周期性，有界性，渐近线． 【会作图】熟练掌握一些基本函数图象．作图时，抓住关键点（端点、最值点、极值点、零点、与轴的交点、对称中心等），关键线（对称轴、渐近线），利用好函数性质（奇偶性、单调性、周期性等）． 1． 反比例型函数：的图像是双曲线，其对称中心为点， 其图象可由变换得到．【可根据对称中心，先画出两条渐近线，再根据的符号画出双曲线！】 事实上，，；该函数定义域为，值域为． 2． (俗称双勾函数)，【， 】 可根据奇偶性和基本不等式，或导数法确定极值点 【的图象如何画？】 3. 含绝对值的函数： 的图象．用零根分段去绝对值法变分段函数，显然每段均为一次函数或常数．因此，图象特征为：由两条射线和一