第01讲 集合-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第01讲 集合 一、课标要求： 在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具。本单元的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。 内容包括：集合的概念与表示、集合的基本关系、集合的基本运算。 （1）集合的概念与表示 ①通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系。 ②针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。 ③在具体情境中，了解全集与空集的含义。 （2）集合的基本关系 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 （3）集合的基本运算 ①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。 ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。 ③能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。 二、知识梳理 一、集合的含义与表示 1． 元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合． 集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性． 2． 元素与集合的关系：，； 3． 常用数集符号：或正整数集，自然数集，整数集，有理数集， 实数集，无理数集，复数集， 偶数集，奇数集． 4． 集合的三种常用表示方法：列举法、描述法（形式可具有多样性）、图示法（一种解题工具或方法）．列举法中集合的表示：①数集，如;②点集或方程组的解集，如;描述法中集合的表示：①数集【数集一般都要进一步化简！】；②点集或方程组的解集. 二、集合间的基本关系 1． 集合与集合的（包含）关系： 【显然，；另规定：.】 概念： ①子集（若，都有，则）； ②集合相等（若，且，则）； ③真子集（若，但，且，则.） 【显然，空集是非空集合的真子集.】 2． 若集合中有个元素，则集合的所有子集个数为【因为或 .】所有非空子集的个数是，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是．【，.】 3. 集合的分类：有限集，无限集，空集. 三、集合的基本运算 1. ①； ②； ③． 【显然与成对出现】 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作． 注意：求解某集合的补集时，最好先求出该集合，然后再写其补集，直接转化集合中的条件（分式，根式，对数式等），容易导致出错，如的补集是，而不是. 2． 摩根定理：①； ②． 【右图中I、II、III、IV四部分你能用集合符号表示吗？】 3． ①. ②. 【①②要重点理解掌握！】 ③. ④ ⑤. 4． 含参数的集合满足或等情形时，在求解的时候要注意是否需要分与两种情形讨论． 三、查缺补漏 1．集合中元素“必须具备的性质特征”（特别是互异性） 例1．集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 变式1 已知集合，则集合中元素的个数是（） A．1 B．3 C．5 D．9 2．集合中元素的属性 例2．集合，则（） A． B． C． D． 变式1 设全集，集合，那么（ ） A． B． C． D． 3．空集：对任意集合A有：．当一个集合中元素的个数不确定时，应想到空集 例3．设，且，则实数的取值范围是___________． 评注：当时，，这种情况在研究子集问题时首先要考虑． 变式1 已知集合，若，求实数的取值范围． 评注：由，勿忘（空集是任何集合的子集）． 4．在由不等式构成集合或抽象集合的子集．交集．并集．补集的问题中，常采用画数轴或Venn图的方法处理．运用数形结合的思想解题，往往会化抽象为具体，化复杂为简单，将集合的交．并．补的关系直观．形象地表示而有利于运算． 例4．设集合，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式1 已知全集U，，那么下列结论中可能不成立的是（ ） A． B． C． D． 变式2 如图，I是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A． B ． C． D． 5．求满足某个条件下的参数时，有时所求参数并不满足该条件，原因是求解时，只用条件的局部，这就要对所求参数代回条件进行检验． 例5．已知集合，若，求的值． 变式1 已知集合，若，则（ ） A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3 四、常用二级结论： 结论一 1．子集、交集、补集之间的一个关系式：，其中为全集． （1）当A=B时，显然成立． （2）当时，Venn图如下图所示，结论正