专题04 数列的通项、求和及综合应用（精讲精练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）

专题04 数列的通项、求和及综合应用 【命题规律】 数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注． 【核心考点目录】 核心考点一：等差、等比数列的基本量问题 核心考点二：证明等差等比数列 核心考点三：等差等比数列的交汇问题 核心考点四：数列的通项公式 核心考点五：数列求和 核心考点六：数列性质的综合问题 核心考点六：实际应用中的数列问题 核心考点七：以数列为载体的情境题 【真题回归】 1．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，易得，依次类推可得 由题意，，即， ∴， 即，，，…，， 累加可得，即， ∴，即，, 又， ∴，，，…，， 累加可得， ∴， 即，∴，即； 综上：． 故选：B． 2．（2022·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 【答案】2 【解析】由可得，化简得， 即，解得. 故答案为：2. 3．（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 【解析】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证． （2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为． 4．（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【解析】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式； 法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解． 5．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 【解析】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）证明：因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； （3）因为 ， 所以 ， 设 所以， 则， 作差得 ， 所以， 所以. 6．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 所以， （2）因为，，成等比数列， 所以， ， ， 由已知方程的判别式大于等于0， 所以， 所以对于任意的恒成立， 所以对于任意的恒成立， 当时，， 当时，由，可得 当时，， 又 所以 【方法技巧与总结】 1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列满足（常数）（，）不能判断数列为等差数列，需要补充证明； 2、数列满足，则是等差数列； 3、数列满足，为非零常数，且，则为等比数列； 4、在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解． 5、遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式，遇到形如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验． 6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式： （1）形如（，），可变形为，则是以为首项，以为公比的等比数列，由此可以求出； （2）形如（，），此类问题可两边同时除以，得，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题； （3）形如，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，设，则有，从而将问题转化为第（1）个问题． 7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求