专题03 平面向量小题全归类（精讲精练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）

专题03 平面向量小题全归类 【命题规律】 平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现．常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同平面几何、三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．近几年高考主要考查平面向量的坐标运算、模的最值、夹角等问题，与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等． 【核心考点目录】 核心考点一：平面向量基本定理及其应用 核心考点二：平面向量共线的充要条件及其应用 核心考点三：平面向量的数量积 核心考点四：平面向量的模与夹角 核心考点五：等和线问题 核心考点六：极化恒等式 核心考点七：矩形大法 核心考点八：平面向量范围与最值问题 【真题回归】 1．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【解析】,,即,解得, 故选：C 2．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 3．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 4．（2022·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________ 【答案】          【解析】方法一： ，， ，当且仅当时取等号，而，所以． 故答案为：；． 方法二：如图所示，建立坐标系： ，， ，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 故答案为：；． 【方法技巧与总结】 1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，总的思路有： （1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． （2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解． 2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路： ①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； ②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 【核心考点】 核心考点一：平面向量基本定理及其应用 【规律方法】 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；（3）运用法则找关系；（4）化简结果． 【典型例题】 例1．（2022·全国·模拟预测）如图，在中，点D是边AB上一点且，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是的平分线，则（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【解析】因为BF是的平分线，所以存在一个实数使得，（根据角平分线的条件，选择合适的基底） 因为E是边BC的中点，所以，又点A，E，F共线，所以①．（三点共线的应用：（，为实数），若A，B，C三点共线，则） 因为，所以，又点C，F，D共线，所以②，联立①②，得，则，即. 故选：C． 例2．（2022·全国·模拟预测）如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【解析】方法1：在平行四边形中，因为，所以， 所以， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，，（平面向量基本定理的应用） 又∵， ∴，解得， 故选：B. 方法2：如图，以A为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，， ∵ 则 ， 又∵，设，则 即： ∴，，， 又∵， ∴ ∴ ∴ 由②得，将其代入①得， 故选：B. 例3．（2022·北京·牛栏山一中高三期中）在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 设， 则, 又，且三点共线，则共线， 即，使得，即， 又不共线，则有，解得， 所以，. 故选：D. 例4．（2022·广东广州·高三期中）如图，在平行四边形中，分别为上的点，且，连接交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设 则 显然 得 显然 因为 所以有 即 根据向量的性质