2.3抛物线讲义 (1)-2022-2023学年高二上学期数学人教A版选修1-1

抛物线 【知识点梳理】 1、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫抛物线，（其中点F不在直线L上）。 注意：当点F在直线L上时，轨迹为垂直于L的直线，并且垂足为点F。 2、抛物线的标准方程 抛物线的标准方程为：①（p>0)（开口向右）焦点坐标 ②（p>0)（开口向左）焦点坐标 ③（p>0) (开口向上）焦点坐标 ④（p>0) (开口向下）焦点坐标 3、抛物线的几何性质 标准方程 （p>0) （p>0) 图形 性质 焦点 范围 对称性 关于轴对称 顶点 原点 离心率 准线方程 标准方程 （p>0) （p>0) 图形 性质 焦点 范围 对称性 关于轴对称 顶点 原点 离心率 准线方程 2、 注意 1）与椭圆、双曲线相比，抛物线没有对称中心，只有一个焦点、一条准线、一个顶点、一条对称轴，且离心率为常数1。 2） 抛物线标准方程中参数p的几何意义是焦点到准线的距离，焦点的非零坐标是一次项系数的。 3） 的焦半径;的焦半径； 4） 根据一次项的变量确定对称轴和焦点位置，根据一次项系数的符号确定开口方向。根据焦参数p的值确定抛物线开口的大小，p越大，抛物线开口越开阔。 【典型例题】 题型一 抛物线的标准方程 例1：（1）已知抛物线的方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程。 （2）已知抛物线的方程是y=8x2，求它的焦点坐标和准线方程。 【解析】（1）因为P=3，所以焦点坐标是（，0），准线方程是x=- （2） 因为y=8x2不是抛物线的标准方程，先化为标准形式 ∴ p= ∴焦点坐标是（0，），准线方程是 例2：1)已知抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。 2)求焦点在直线x-y+1=0上的抛物线标准方程。 3）求过点（2，2）的抛物线标准方程。 【解析】1）因为焦点在y轴的负轴上，并且=2，P=4,所以所求抛物线的标准方程是x2=-8y. 2) 因为焦点是直线x-y+1=0与坐标轴的交点，故焦点F(0,1)或（-1，0），从而标准方程为x2=4y或y2=4x. 3）依题意，抛物线开口向上或者向右，可设标准方程为y2=2px或x2=2py,将（2，2）分别代入都得P=1，故所求标准方程为y2=2x或x2=2y 点评：求抛物线的标准方程，一般先确定开口方向，然后设出方程形式，求出p即可，对于开口方向不 确定应分类讨论。 题型二 抛物线的定义 例1：点M与点F (－4，0)的距离比它到直线l：x－6=0的距离少2，求点M的轨迹方程． 【解析】点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义． 答案：y2=－16x 例2：已知抛物线上一点M到焦点F的距离为2，求点M的坐标. 【解析】设M,由得，，∴准线方程为， ∴点M到准线的距离为， 由抛物线的定义知=2，解得，代入解得， ∴点M的坐标为. 例3：已知抛物线y2=2px上有三点A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）且x1＜x2＜x3，若线段AB、BC在x轴上射影之长相等，求证：A、B、C三点到焦点的距离顺次成等差数列. 【解析】根据题意，得x2－x1=x3－x2， 即x1、x2、x3成等差数列， 又由抛物线的定义得：. ∵2｜BF｜=2x2＋()=2x2+p, ｜AF｜+｜CF｜=x1+x3+p=2x2＋p=2｜BF｜. ∴｜AF｜、｜BF｜、｜CF｜成等差数列. 例4：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段AB的长 【解析】这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和． 如图8－3－1，y2=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x－1． 由消去y得x2－6x+1=0． 设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x2=6． 又A、B两点到准线的距离为，，则 题型二变式 利用抛物线定义解决最值问题 例5：已知F是抛物线的焦点，点Q(2,2),在抛物线上找一点P使|PQ|+|PF|最小，求点P的坐标. 【解析】抛物线的准线方程为，P是抛物线上一点，过P作PH⊥，垂足为H，根据抛物线定义知，|PH|=|PF|， ∴|PQ|+|PF|=|PQ|+|PH|， 当H、P、Q共线时,此时P (1,2),|PQ|+|PH|值最小，最小值为3. 例6：定长为4的线段AB的端点A、B在抛物线上移动，求线段AB的中点M到轴的距离的最小