圆的方程及位置关系 复习讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版必修2

第四章 圆与方程 第一、二节 圆的方程及位置关系 【知识点梳理】 一、圆的标准方程与一般方程 1、圆的标准方程为，其中圆心为,半径为r； 2、圆的一般方程为，圆心坐标，半径为． 方程表示圆的等价条件是 二、求圆的标准方程的常用方法： 1、几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程； 2、待定系数法：先根据条件列出关于a、b、r的方程组，然后解出a、b、r，再代入标准方程. 三、点与圆或的位置关系： 在圆内或 在圆上或 在圆外或 四、 直线与圆的位置关系： 1、几何法：设：直线圆C：；圆心到直线的距离，则 ①d＞r 相离； ②d＝r相切； ③．d＜r相交 垂径定理：过圆心的直线垂直于弦且平分弦．常用勾股定理：半弦长2+弦心距2=半径2． 2、代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断： （1） 相离；（2） 相切；（3） 相交． 五、 圆与圆的位置关系： 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，圆心距． ①； ②； ③； ④； ⑤． 若两圆相交，则连心线O1O2垂直且平分相交弦，由相减为公共弦方程． 【典型例题】 题型一 圆的定义与标准方程 例题1：求下列各圆的方程： （1）过点，圆心在； （2）圆心在直线上的圆C与y轴交于两点． 【解析】（1）设所求圆的方程为. 则，解得． ∴ 圆的方程为． （2）圆心在线段AB的垂直平分线上，代入直线得， 圆心为，半径 ∴ 圆C的方程为． 【点评】待定系数求圆的标准方程，从圆的标准方程(x – a)2 + (y – b)2 = r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，（2）中利用了垂径定理，垂径与过圆心的已知直线的交点求圆心． 变式1：已知圆C经过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆心在直线 x – y + 1 = 0上，求圆C的圆的标准方程． 【解析】因为A (1，1)，B (2，– 2)，所以线段AB的中点D的坐标为(，)， 直线AB的斜率kAB == –3， 因为线段AB的垂直平分线l′的方程是y +，即x –3y –3 = 0． 圆心C的坐标是方程组的解． 解此方程组，得 所以圆心C的坐标是(–3，–2) ． 圆心为C的圆的半径长r =|AC|== 5． 所以，圆心为C的圆的标准方程是(x + 3)22 + (y +2)2 =25． 题型二、 圆的一般方程 例题2： 求以O(0,0)、A(2,0)、B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程． 【解析】采用一般式，设圆的方程为， 将三个已知点的坐标代入得，解得： 故所求圆的方程为． 【点评】在求圆的方程时，应当注意以下几点： （1）求圆的方程必须满足三个独立条件方可求解，选择方程的形式，合理列出方程组是关键； （2）当条件与圆心、半径有关时常选择标准方程，当条件是圆经过三个点时，常选用一般方程； （3）在待定系数法的应用上，列式要尽量减少未知量的个数． 变式2：设方程x2+y2－2(m+3)x+2(1－4m2)y+16m4+9=0． （1）当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆． （2）当m在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程． 【解析】（1）由得：， 化简得：，解得：． 所以当时，该方程表示一个圆． （2）r==，当 时，． 【点评】（1）已知圆的一般方程，要能熟练求出圆心坐标、半径及掌握方程表示圆的条件；（2）第3问求圆心的轨迹方程，使用了参数法，即把x,y都表示成m的函数，消去参数可得到方程，用此法要注意变量x,y的范围． 题型三、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断 例题3： 写出圆心为A (2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，–7)，是否在这个圆上． 【解析】圆心是A(2，–3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x + 3)22 + ( y + 3)2 =25． 把M1 (5，–7)，M2 (，–1) 的坐标代入方程(x –2)2 + (y +3)2 =25，左右两边相等， 点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上； 把M2 (，–1)的坐标代入方程(x – 2)2 + (y +3)22 =25，左右两边 不相等， 点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上． 【点评】利用点与圆的位置关系判定方法． 例题4：若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为 ． 【解析】将圆x2＋y2－2x＝0的方程化为标准式：（x－1）2＋y2＝1, 其圆心为（1，0），半径为1， 由直线（1＋a）x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离， ∴ a＝－1． 【点评】已知直线与圆相切，根据圆心到直线的距离