3.5 圆锥曲线的应用-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

3.5　圆锥曲线的应用 圆锥曲线在生产和日常生活中有许多重要的应用.为了解决与椭圆、双曲线、抛物线有关的实际问题,首先要把实际问题数学化;其次,利用已有的知识,选择适当的数学方法,求出数学模型的解答;最后利用现实问题的各种信息检验所得到的实际问题的解答,以确认解答的正确性和数学建模的准确性. 　与抛物线相关的应用问题 [例1] 河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5 m时,水面宽为8 m,一小船宽4 m,高2 m,载货后船露出水面上的部分高 0.75 m,则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时,小船开始不能通航? 解: 如图所示,以拱桥的拱顶为坐标原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意可知点B(4,-5)在抛物线上,故p=,抛物线的方程为x2=-y.当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为AA′,则A(2,yA),由22=-yA,得yA=-.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m,所以水面距桥顶的距离h=|yA|+0.75=2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时,小船开始不能通航. (1)解题关键是把实际问题转化为数学问题,利用数学模型,通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题. (2)在建立抛物线的方程时,以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系.这样可使得方程不仅具有对称性,而且曲线过坐标原点,方程不含常数项,形式更为简单,便于应用. [变式训练1] 探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,已知灯口直径是60 cm,灯深是40 cm,则光源到反光镜顶点的距离是(　　) A.11.25 cm B.5.625 cm C.20 cm D.10 cm 解析: 建立如图所示的平面直角坐标系,设y2=2px(p>0),点A(40,30)在抛物线上,代入,得p=11.25. 故|OF|==5.625 cm,故光源到反光镜顶点的距离为=5.625 cm.故选B. 　与椭圆相关的应用问题 [例2] 1970年4月24日,我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”,从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长,焦距分别为2a,2c,则下列结论正确的是(　　) A.卫星向径的取值范围是[a-c,a+c] B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁 D.卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小 解析:根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a-c,a+c],A正确;当卫星在左半椭圆弧运行时,对应的面积更大,面积守恒规律,速度更慢,B正确;==-1,当比值越大,则e越小,椭圆轨道越圆,C错误;根据面积守恒规律,卫星在近地点时向径最小,故速度最大,在远地点时向径最大,故速度最小,D正确.故选ABD. 解答与椭圆相关的应用问题,将事物的实际含义向椭圆的几何性质转化是关键,其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论,以解决实际问题. [变式训练2] 小河上有一座悬吊在半椭圆形钢拱上的小桥,其侧面如图所示.地面上两点A,B是椭圆长轴的端点,与地面平行的桥面CD长为 9.42米,CG,DH是两根高为1米且与地面垂直的支柱,引桥CE的坡度为15°,且BE=3.44米.求此椭圆形钢拱的跨度AB及拱的最高点到地平面的距离.(精确到0.1米) 解:以AB中点为坐标原点,拱桥的对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略). 由题意知|GE|=tan 75°=2+≈3.73, |GB|≈3.73-3.44=0.29, |AB|≈9.42+0.29×2=10.0(米). 设钢拱所在的椭圆的标准方程为+=1(b>0),将C(4.71,1)代入,解得b≈3.0米. 所以钢拱的跨度约为10.0米,其最高点到地平面的距离约为3.0米. 　与双曲线相关的应用问题 [例3] 相距2 000 m的两个哨所A,B,听到远处传来的炮弹爆炸声.已知当时的声速是330 m/s,在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到的时间迟4 s,试判断爆炸点在什么样的曲线上,并求出曲线的方程. 解:设爆炸点为P,由已知可得|PA|-|PB|=330×4=1 320>0. 因为|AB|=2 000>1 320,所以点P在以A,B为焦点的双曲线靠近B处的那一支上,建立如图所示的平面直角坐标系,使A,B两点在x轴上,线段AB的中点为坐标原点. 由2a=1 320,2c=2 000,得a=6