3.3 抛物线-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线. [思考1] 平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗? 提示:不一定.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线;当l不经过点F时,点的轨迹是抛物线. 2.抛物线的标准方程 图象 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) F(,0) x=- y2=-2px(p>0) F(,0) x= x2=2py(p>0) F(0,) y=- x2=-2py(p>0) F(0,) y= [思考2] 已知抛物线的标准方程,怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向? 提示:一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上.若系数为正,则焦点在正半轴上;若系数为负,则焦点在负半轴上.焦点确定,开口方向也随之确定. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)标准方程y2=2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.(　√　) (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.(　√　) (3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹不可能为直线.(　×　) 2.抛物线的准线方程为x=-4,则抛物线的方程为(　C　) A.x2=16y B.x2=8y C.y2=16x D.y2=8x 3.抛物线y2=-8x的焦点坐标是　　　　,准线方程为　　　　.  答案:(-2,0)　x=2 　求抛物线的标准方程 [例1] 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程. (1)准线方程为y=; (2)经过点(-3,-1); (3)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点. 解:(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴,且=,则p=,所以所求抛物线的标准方程为x2=-y. (2)因为点(-3,-1)在第三象限,所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0). 若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则由(-1)2=-2p×(-3),解得p=; 若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则由(-3)2=-2p×(-1),解得p=. 所以所求抛物线的标准方程为y2=-x或 x2=-9y. (3)对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4, 所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0). 当焦点为(0,-3)时,=3, 所以p=6, 此时抛物线的标准方程为x2=-12y; 当焦点为(4,0)时,=4, 所以p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x. 所以所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x. 求抛物线的标准方程的方法如下. 定义法 根据定义求p,最后写标准方程 待定系数法 设标准方程,列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程 提醒:当抛物线的焦点位置不确定时,应分类讨论,也可以设抛物线的方程为y2=ax或x2=ay(a≠0)的形式,以简化讨论过程. [变式训练1] 根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)焦点到准线的距离是5; (2)焦点F在y轴上,点A(m,-2)在抛物线上,且|AF|=3. 解:(1)由题意知p=5,则2p=10.因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向,所以四种类型的抛物线都有可能,故抛物线的标准方程为y2=10x,y2=-10x,x2=10y,x2=-10y. (2)由题意可设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0).由|AF|=3,得+2=3,所以p=2,所以抛物线的标准方程为x2=-4y. 　抛物线的定义的理解 [例2] 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程. 解:法一　设点P的坐标为(x,y), 则=|x|+1. 两边平方并化简,得y2=2x+2|x|. 所以y2= 所以动点P的轨迹方程为 y2=4x(x≥0)或y=0(x<0). 法二　由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0上的点符合条件;当x≥0时,题中条件等价于点P到点 F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,抛物线方程为y2=4x. 故所求动点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0). 求轨迹方程一般有两种方法:一是直接法,根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程;二是定义法,利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线,再根据抛物线的性质写出方程