3.3 抛物线 第二课时 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学选择性必修第1册“抛物线几何性质”教学设计，聚焦抛物线范围、对称性、顶点、离心率等性质的推导与应用，通过抛物线型拱桥实例导入，引导学生类比椭圆、双曲线研究方法，搭建从方程到性质的知识迁移支架。 以问题链驱动探究过程，结合生活实例培养数学建模素养，例题采用多解法（如弦长计算的代数法与定义法）渗透数形结合思想，助力学生发展逻辑推理与应用意识，为教师提供情境化教学与分层训练的实用方案。

课题名称：数学选择性必修第1册 3.3 抛物线 第二课时 教学目标： 1. 理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质. 2. 能够应用抛物线的几何性质解决一些简单问题. 3. 学生经历类比椭圆、双曲线性质的研究方法探究出抛物线的几何性质的过程，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，体会数形结合的思想. 教学重点、难点： 教学重点：1. 掌握抛物线的几何性质——范围、对称性、顶点、离心率. 2. 使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和抛物线的弦长. 教学难点：1. 抛物线几何性质的灵活应用. 2. 讨论直线与抛物线的位置关系. 教学过程 【教学过程与设计】 整个教学过程是由问题链驱动的，共分为六个环节： 创设情境启迪思维 深入探究获得新知 创新应用解决问题 例题讲解提炼方法课堂实练巩固提高 小结反思拓展引申 【教学程序与设计意图】2 4 （一）创设情境——启迪思维 一抛物线型拱桥跨度为4米,拱顶离水面2米,水面上飘浮一宽2米,高出水面1.6米的大木箱,问木箱能否通过该拱桥？ 为了解决上面的问题，我们先结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探究它的几何性质. 【设计意图】这个引入从生活实例出发，引导学生探究抛物线的几何性质，了解抛物线在实际问题中的初步应用，激发学生学习的兴趣，增强学生的应用意识，发展学生数学建模的核心素养. （二）深入探究——获得新知 问题一 抛物线方程中x和y的取值范围是多少呢？ 在方程y2=2px(p>0)中,因为p＞0, y2≥0,所以该抛物线上点的横坐标都满足x≥0.于是,抛物线在y轴的右侧,并且向右无限延伸.当 x的值增大时,∣y∣=也增大,说明这条抛物线向右上方和右下方无限延伸. 问题二 抛物线具有怎样的对称性呢？ 我们在抛物线上任取一点P（x,y）,请大家结合图象得到P关于x轴的对称点在什么位置？ 我们发现P1（x,-y）也在抛物线上.此抛物线关于x轴对称. 在标准方程中,也可以看到，将 y换成-y,方程不变,说明这条抛物线关于x轴对称,x轴是它的对称轴. 每一条抛物线有唯一一条对称轴,称为抛物线的轴. 问题三 抛物线的顶点是什么呢？ 抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线的顶点.在方程y2＝2px(p＞0)中，当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点为坐标原点（0，0）. 问题四 怎样定义抛物线的离心率呢？ 抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比,叫作抛物线的离心率,用字母e表示,由定义可知e=1. 问题五 对于抛物线的另外三种形式，同学们可以类比探究它们的几何性质吗？ 同学们可以自主完成下面的表格. 项目 内容 定义 平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 标准方程 图形 F 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 轴 轴 轴 轴 顶点 离心率 关于抛物线的简单几何性质的理解： 问题六 抛物线标准方程和椭圆、双曲线的标准方程有哪些不同呢? 问题七 抛物线标准方程中的p对抛物线开口有何影响呢? 确定抛物线只要一个参数p，我们发现：“p越大,开口越开阔”.而确定椭圆和双曲线则需要两个参数. （a）抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线； （b）抛物线只有一条对称轴,没有对称中心； （c）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； （d）抛物线的离心率是确定的，为1. 【设计意图】通过问题链，使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力，体会数形结合及方程的思想。在教学中，采用类比学习法，通过探究发现、合作交流、归纳反思等数学活动，让学生主动参与，让学习过程成为学生的主动认知过程。 （三）创新应用——解决问题 熟练掌握了抛物线的几何性质，现在我们可以解决一开始提出的实际问题了. 例1一抛物线型拱桥跨度为4米,拱顶离水面2米,水面上飘浮一宽2米,高出水面1.6米的大木箱,问木箱能否通过该拱桥？ 解析：以抛物线型拱桥的对称轴为y轴，顶点为原点建立平面直角坐标系. 设抛物线的标准方程为x2=－2py (p>0). 已知点A（2,－2）在抛物线上，代入解得p=1， 所以抛物线的方程为x2=－2y . 令点B为（1，y），y=－0.5， B到水面的距离为2-0.5=1.5米<1.6米，所以此木箱不能安全通过. 变式训练1：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点（1,2），求该抛物线的标准方程. 【设计意图】例1是课前情境引入问题的解决，体现了数学来源于生活再回到生活中的思想，进一步加强学生的应用意识，发展学生数学建模的核心素养，体会坐标的方法.该例题是据书上例3改编，所以将书上例3作为变式训练加以巩固. 采用待定系数法确定抛物线的标准方程，关键在于识别抛物线四种类型中的哪一种，再由抛物线上点的坐标确定p的值，进而得到所求方程. （四）例题讲解——提炼方法 例2.已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为（1，0），一条斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于 A，B两点，求∣AB∣. 解:（方法一）设A（x1,y1）,B(x2,y2). 由已知可得直线l的方程：y=x-1. ① 又抛物线的焦点坐标为（1，0），故该抛物线的标准方程为 y2＝4x. ② 联立①、②，消去y可得 x2-6x+1=0. 由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=6，x1x2=1, 于是|AB|= = = = = =8 (方法二）如图，设A（x1,y1）,B(x2,y2).过A,B分别向准线作垂线，垂足为A,B. 由抛物线的定义可知，│AF│=│A A=x1+1，│BF│=│BB=x2+1. 所以│AB│=│AF│+│BF│=x1 + x2 +2. 由方法一中根与系数的关系得x1+x2=6,所以│AB│=x1+x2+2=6+2=8 【设计意图】方法一是处理圆锥曲线弦长问题的一般化方法，即通过联立直线方程与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，求出|AB|. 方法二在得到关于x(或y)的一元二次方程，且利用根与系数的关系，得到x1+x2的值后，再利 用抛物线的定义得出|AB|，简化了运算.该方法把抛物线的标准方程和其几何特征紧密地结合起来，体现了用坐标法解决问题的基本思想方法。 本题是渗透方程思想，数形结合思想的极好素材，对于发展逻辑推理、直观想象、数学运算素养有很好的作用，教学中要引导学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题. （五）课堂实练——巩固提高 1.求下列抛物线的顶点坐标、对称轴、焦点坐标和准线方程. (1)y2=2x; (2)x2=32y; (3)y=-8x2; (4)x=y2 2.在同一坐标系中画出下列抛物线: (1)y2=x; (2)y2=x; (3)y2=2x. 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系. 3.设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，求|AB|及 OAB的面积. （六）小结反思——拓展引申 1．课堂小结 （1）我们学到了哪些新的数学知识？ （2）我们运用了哪些解题方法和数学思想？ 2．激发新疑 已知抛物线C:y2=2x，直线l过定点(0，-2).讨论直线l与抛物线的公共点的情况. 3．作业:教材P140习题3.3：7，8,9 【设计意图】 通过变式训练巩固抛物线的简单几何性质，总结设而不求的方法. 4 学科网（北京）股份有限公司 $