2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

2.6　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.6.1　直线与圆的位置关系 1.直线与圆有三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系判断 位置关系 相交 相切 相离 几何 法 设圆心到直线的距离d= d<r d=r d>r 3.直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断 位置关系 相交 相切 相离 代数 法 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断.(　√　) (2)过圆外一点作圆的切线有两条.(　√　) (3)当直线与圆相离时,可求圆上的点到直线的最大距离和最小距离.(　√　) (4)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.(　×　) (5)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.(　√　) (6)若直线与圆只有一个公共点,则直线与圆一定相切.(　√　) 2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(　B　) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 3.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是(　D　) A.过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心 　直线与圆的位置关系的判断 [例1] 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程 x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线: (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点. 解:法一　将直线方程mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理得, (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0, Δ=4m(3m+4). (1)当Δ>0,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当Δ<0,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 法二　已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为C(2,1),半径r=2. 圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离 d==. (1)当d<2,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当d>2,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 判断直线与圆的位置关系有以下三种方法. (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. (3)直线系法:若直线恒过定点,可通过对定点与圆的位置关系判断,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系. [变式训练1] 圆x2+y2=9与直线ax-y+2a=0的位置关系是　　　　,与直线3x+4y-25=0的位置关系为　　　　.  解析:直线ax-y+2a=0恒过定点(-2,0),而(-2,0)满足(-2)2+02<9,所以直线与圆相交.因为圆心(0,0)到直线3x+4y-25=0的距离d==5>3,所以直线与圆相离. 答案:相交　相离 　直线与圆相切问题 [例2] (1)平行于直线2x+y+1=0且与圆 x2+y2=5相切的直线的方程是(　　) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+=0或2x+y-=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+=0或2x-y-=0 (2)由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则该切线长的最小值为(　　) A.1 B.2 C. D.3 (3)过点P(2,3)且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线的方程为　　　　　　.  解析:(1)因为所求直线与直线2x+y+1=0平行,所以设所求的直线方程为2x+y+m=0(m≠1). 因为所求直线与圆x2+y2=5相切, 所以=,所以m=±5.即所求的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.故选A. (2)由题意得,圆心(3,0)到直线y=x+1的距离d==2,圆的半径为1,故切线长的最小值为==.故选C. (3)易知点P(2,3)在圆外,当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,符合要求;当直线的斜率存在时,可设直线的方程为y-3=k(x-2),根据圆心到直线的距离d等于半径,得d==1,解得k=0,所以直线的方程为x=2或y=3. 答案:(1)A　(2)C　(3)x=2或y=3 过圆外一点的切线一定有两条,其求法有以下两种. (1)几何法:设切线方程为y-y0=k