2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系 第二课时 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦圆与圆的位置关系判定，以日环食天文现象导入，类比直线与圆位置关系的判定方法，引导学生从生活现象中抽象数学问题，构建知识联系。 通过几何画板动画演示直观感知位置关系，结合联立方程判别式与圆心距半径关系两种定量分析法，辅以变式训练求公共弦方程及长度，培养学生几何直观与逻辑推理能力。既助学生发展数形结合思维，又为教师提供落实数学眼光与运算能力的结构化教学方案。

课题名称：数学选择性必修第1册 2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系 第二课时 教学目标： 1.能根据给定的两圆方程，判定圆与圆的位置关系 2.通过对圆与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式 3.强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力 4.通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想 教学重点、难点： 教学重点：圆与圆的位置关系的判断 教学难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系 教学过程 【教学过程与设计】 整个教学过程是由问题链驱动的，共分为五个环节： 创设情境启迪思维 动画演示直观感知 深入探究定量分析 变式训练提炼方法 小结反思拓展引申 【教学程序与设计意图】 （一）创设情境——启迪思维 今天让我们由一则天象奇观——日环食,开启探索之旅. 2021年6月10日，发生了日环食这难得一见的天文现象. 下图就是陕西省天文爱好者在西藏阿里拍摄的日环食照片. 如果我们从数学的视角去看待日食的过程，那么就可以把日食的不同阶段抽象成两个圆之间不同的位置关系.（如下图） 初亏即为两圆相交，食既和生光即为两圆内切，食甚即为两圆内涵，复圆即为两圆外切或相离. 从这个天文现象中我们感知了两圆的位置关系，那么请大家继续思考，类比直线与圆位置关系的判定方法，我们如何来表示圆与圆之间的位置关系呢？ 【设计意图】这个引入从天文现象入手，让学生感到既耳目一新，又能深刻感受到数学无处不在，从而引导学生用数学的眼光去观察生活。 （二）动画演示——直观感知 我们既可以从形的角度来考察：即通过判断两圆圆心之间的距离与半径的大小关系两圆之间的位置关系.【几何画板演示】 （三）深入探究——定量分析 也可以从数的角度来考察：将两圆的方程联立，消元、化简后得到关于或的一 元二次方程. (1)当判别式时，两圆有两个交点，表示两圆相交; (2)当判别式时，两圆有一个交点，两圆内切或外切； (3)当判别式时，无交点，两圆相离或内含. 例 判断圆与圆的位置关系. 解法一：把圆的方程化成标准方程，得 圆的圆心是点，半径 把圆的方程化成标准方程，得 圆的圆心是点，半径 两圆心之间的距离 从而 所以圆与圆相交，它们有两个公共点 解法二：联立两圆的方程得 判别式，所以两圆相交. 【设计意图】通过一个典型例题引出圆与圆位置关系的判定，采用了两种方法判定圆与圆的位置关系，第一种是通过圆心距与两圆半径大小关系判定两圆位置关系；第二种是通过联立两圆方程，利用判别式判定交点个数判定圆的位置关系；意在引导学生从对圆与圆位置关系的感性认识，到利用圆与圆的方程定量进行判断. （四）变式训练——提炼方法 变式1： 求圆与圆公共弦所在直线方程. 变式2： 求经过圆与圆的公共弦长. 【设计意图】在这个环节，我设置了从例题引申出的两个问题（1）求两圆公共弦所在直线方程（2）求两圆的公共弦长.通过一题多变，使学生不仅收获了数学知识和方法，还使学生的逻辑推理能力和解题能力得到一定的提升. （5） 小结反思——拓展引申 1．课堂小结 （1）我们学到了哪些新的数学知识？ （2）我们运用了哪些解题方法和数学思想？ 选做题：已知一圆经过直线与圆的两个 交点，并且有最小面积，求此圆的方程．（答案：） 　 　【设计意图】在本课的结尾设计这两个问题，作为对这节课内容的巩固与延伸，让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题，强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力 10 学科网（北京）股份有限公司 $