1.1 数列的概念（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

该高中数学课件系统涵盖数列的概念、分类、与函数的关系、通项公式及递推公式等核心知识点，以函数概念为导入支架，衔接数列作为特殊函数的本质，帮助学生构建从函数到数列的知识脉络。 其亮点在于通过知识辨析问题培养数学眼光，典例分析中归纳法、累加法等多种方法训练数学思维，用符号公式精确表达规律体现数学语言。例如求通项公式从符号、拆分等角度观察，助力学生形成解题思路，提升学生分析能力，为教师提供结构化教学资源。

1.1 数列的概念 知识点 1 数列的相关概念 必备知识 清单破 1.概念 　　按照一定顺序排成的一列数叫作数列.数列中的每一个数叫作这个数列的项,排在第一 位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项,……,排在第n位的数叫作数列的第n项. 2.表示 {an}表示一个数列,an表示数列中的第n项. 第一章 数列 高中同步 3.数列的分类 (1)按项的个数分:有穷数列,无穷数列; (2)按数列的变化趋势分:递增数列,递减数列,摆动数列,常数列. 　　注意:①如果组成两个数列的数相同,但顺序不同,那么它们是不同的数列;②同一个数可 以在数列中重复出现. 第一章 数列 高中同步 知识点 2 数列与函数的关系 1.数列是特殊的函数,从函数的观点看: 定义域 正整数集N+(或它的有限子集{1,2,…,n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值组成的集合 表示方法 (1)通项公式法(解析法); (2)图象法;(3)列表法 2.求数列中的项或判断某项是不是数列的项时,①如果已知an=f(n)和n0,则 =f(n0);②判断m是 不是{an}的项,只需令m=an,若此方程有正整数解,则m是数列{an}的项. 第一章 数列 高中同步 知识点 3 数列的通项公式与递推公式的区别 1.通项公式反映了数列中项与序号之间的关系,而递推公式反映了数列中项与项之间的关系; 2.求数列的某一项时,可以通过将序号代入通项公式直接求出该项,而对于递推公式,则必须 通过逐项计算求出该项; 3.递推公式可以揭示数列的一些性质,但不容易了解数列的全貌,计算也不方便,而通项公式 可以“把握”整个数列. 第一章 数列 高中同步 知识辨析 1.数列的项和它的项数相同吗? 2.数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是同一个数列吗? 3.数列an= an= (n∈N+),an= (n∈N+)是同一个数列吗? 第一章 数列 高中同步 1.不相同.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,相当于f(n),而项数是指 这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于f(n)中的n. 一语破的 2.不是.两个数列中的数虽然相同,但顺序不同,故不是同一个数列. 3.是.三个数列都可以写成0,1,0,1,…的形式,数列的通项公式不一定是唯一的. 第一章 数列 高中同步 定点 1 求数列的通项公式 关键能力 定点破 1.从下面4个角度观察数列的前几项: (1)各项的符号特征; (2)各项能否拆分,以及拆分后的特征; (3)分式(数)的分子、分母的特征; (4)相邻项的变化规律. 第一章 数列 高中同步 2.寻找各项与对应的项的序号之间的规律,一般方法如下: (1)统一项的结构,将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”,如都 化成分数、根式等; (2)分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分与对应的项的序号间的函数解析式; (3)当一个数列各项的符号出现“+”“-”相间时,可把符号分离出来,可用(-1)n或(-1)n+1来表 示; (4)当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时,一般考虑用分段的形式表示,有时也可以将给出 的各项统一化成某种形式. 第一章 数列 高中同步 根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公式: (1) ,2, ,8, ,…; (2) , , , , ,…; (3)2,6,2,6,…; (4)2,3,5,9,17,33,…; (5)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…; (6)2,-6,12,-20,30,-42,…. 典例 第一章 数列 高中同步 思路点拨    先观察各项的特点,注意前后项间的关系,分子与分母的关系,项与对应的序号的 关系,每一项符号的变化规律,然后归纳出通项公式. 第一章 数列 高中同步 解析    (1)将每一项都统一写成分母为2的分数,即 , , , , ,…,所以它的一个通项公式是 an= . (2)分子为偶数,分母为相邻两奇数的积,即an= . (3)此数列为摆动数列,而2=4-2,6=4+2,中间符号用(-1)n来表示,所以an=4+(-1)n·2或an=   (4)因为a1=2=1+1,a2=3=2+1,a3=5=22+1,a4=9=23+1,a5=17=24+1,a6=33=25+1,……,所以an=2n-1+1. (5)数列可变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以an=n+ . (6)数列可变形为1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,-6×7,…,所以an=(-1 n(n+1). 第一章 数列 高中同步 定点 2 数列与函数的关系 1.判断数列单调性的方法 (1)转化为函数,利用函数的性质求解. (2)通过作差法或作商法比较数列中相邻两项的大小关系. 2.求数列中的最大(或最小)项的方法 (1)构造函数,确定函数的单调性,进一步求出数列的最大(或最小)项. (2)利用 (n≥2,n∈N+)求数列中的最大项an;利用 (n≥2,n∈N+)求数列中的最 小项an.当所得解不唯一时,比较各解的大小即可. 第一章 数列 高中同步 已知数列{an}中,an=n2+λn,n∈N+. (1)当λ=-7时,讨论{an}的单调性; (2)若数列{an}的第7项是最小项,求实数λ的取值范围. 典例 思路点拨    (1)思路一:运用作差法比较an+1与an的大小,进而判断单调性;思路二:利用二次函数 的性质求解.(2)由a7是最小项列出不等式组 从而求出实数λ的取值范围. 第一章 数列 高中同步 解析    (1)解法一:当λ=-7时,an=n2-7n,an+1=(n+1)2-7(n+1)=n2-5n-6, 所以an+1-an=n2-5n-6-(n2-7n)=2n-6. 当1≤n≤3时,an+1-an≤0,{an}单调递减; 当n≥4时,an+1-an>0,{an}单调递增. 解法二:当λ=-7时,an=n2-7n= - . 易知函数f(x)= - 图象的对称轴为直线x= , 所以由二次函数的性质可知, 当1≤n≤3时,an+1-an≤0,{an}单调递减; 当n≥4时,an+1-an>0,{an}单调递增. 第一章 数列 高中同步 (2)由题意得 即  解得-15≤λ≤-13, 所以实数λ的取值范围是[-15,-13]. 易错警示 　　在利用函数的有关知识解决数列问题时,要注意数列的定义域是N+还是其有限子集. 第一章 数列 高中同步 定点 3 利用数列的递推关系解决相关数列问题 1.根据数列的递推公式和第1项(或其他项)求数列前几项的方法 (1)根据递推公式求数列的前几项,首先要弄清公式中各部分的关系,依次代入计算即可. (2)若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1. (3)若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1= . 2.由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式. (2)迭代法、累加法或累乘法,递推公式对应的有以下几类: ①an+1-an=常数或an+1-an=f(n)[f(n)是可以求和的],使用累加法或迭代法; ②an+1=pan(p为非零常数)或an+1=f(n)an[f(n)是可以求积的],使用累乘法或迭代法; ③an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决. 第一章 数列 高中同步 (1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+ - ,则an等于 (　    ) A. 　　　　    B. 　　　　    C. 　　　　    D.  (2)已知数列{an}满足a1=1,an+1= an(n∈N+),则an等于 (　    ) A.n+1　　　　    B.n　　　　    C. 　　　　    D.  典例 B D 第一章 数列 高中同步 解析    (1)解法一(归纳法):数列的前5项分别为a1=1,a2=1+1- =2- = ,a3= + - =2- = ,a4=  + - =2- = ,a5= + - =2- = ,由此可得数列的一个通项公式为an=2- = . 解法二(迭代法):a2=a1+1- ,a3=a2+ - ,……,an=an-1+ - (n≥2), 则an=a1+1- + - + - +…+ - =2- = (n≥2). 又a1=1也满足上式, 所以an= (n∈N+). 解法三(累加法):an+1-an= - ,a1=1,a2-a1=1- ,a3-a2= - ,a4-a3= - ,……,an-an-1= - (n≥ 2),以上各式相加得an=1+1- + - + - +…+ - =2- = (n≥2). 因为a1=1也满足上式,所以an= (n∈N+). 第一章 数列 高中同步 (2)由题意得 = , 所以an= · ·…· · ·a1 = × ×…× × ×1= . 第一章 数列 高中同步 $