2.8 直线与圆锥曲线的位置关系-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（人教B版）

2.8　直线与圆锥曲线的位置关系 学习目标 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法. 2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想. 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程,即消去y,得ax2+bx+c=0. (1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则: Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交; Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切; Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离. (2)当a=0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=·=·|y1-y2| =·. (1)直线与椭圆位置关系的有关结论: ①过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; ②过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切; ③过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. (2)直线与抛物线位置关系的有关结论: ①过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点,两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线; ②过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线; ③过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条与对称轴平行或重合的直线. 　直线与圆锥曲线的位置关系 [例1] 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上. (1)求椭圆C1的方程; (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程. 解:(1)椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),所以c=1, 又点P(0,1)在曲线C1上, 所以+=1,得b=1, 则a2=b2+c2=2, 所以椭圆C1的方程为+y2=1. (2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0, 设直线l的方程为y=kx+m, 由 消去y, 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 因为直线l与椭圆C1相切, 所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0. 整理得2k2-m2+1=0.① 由 消去y,得k2x2+(2km-4)x+m2=0. 因为直线l与抛物线C2相切, 所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0, 整理得km=1.② 综合①②,解得 或 所以直线l的方程为y=x+或y=-x-. 针对训练:(2021·浙江嘉兴市第五高级中学高二期中)已知抛物线E:y2=x和直线l:y=kx-2. (1)求抛物线焦点到准线的距离; (2)若直线l与抛物线E有两个不同的交点,求k的取值范围; (3)在(2)的条件下,设直线l与抛物线E的交点为A,B,且AB中点的横坐标为,求直线l的方程. 解:(1)抛物线E:y2=x的焦点为F(,0),准线为直线x=-, 所以抛物线焦点到准线的距离为. (2)依题意,由 消去x得ky2-y-2=0, 因为直线l与抛物线E有两个不同的交点,则k≠0,且Δ=1+8k>0⇔k>-, 所以k的取值范围是(-,0)∪(0,+∞). (3)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(2)知,y1+y2=,而=,即x1+x2=5, 于是得x1+x2=+====5,解得k=-或k=1, 因为k>-且k≠0,则有k=1, 所以直线l的方程为y=x-2. 研究直线与圆锥曲线的位置关系时,一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,消元后,应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况,以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件,用数形结合的方法求解. 　弦长问题 [例2] (2021·上海建平中学高二阶段练习)给定椭圆E:+=1(a>b>0),称圆x2+y2=a2+b2为椭圆E的“伴随圆”.已知椭圆E中b=1,离心率为. (1)求椭圆E的方程; (2)若直线l:y=kx+m与椭圆E交于A,B两点,与其“伴随圆”交于C,D两点,|CD|=. ①请将m2用含有k的关系式表示(不需给出k的取值范围); ②求弦长|AB|的最大值. 解:(1)由题可知,b=1,e==,又a2=b2+c2,解得a2=3,c2=2,故椭圆的标准方程为+y2=1. (2)①由(1)可得“伴随圆”为x2+y2=4,其半径r=2,因为|CD|=,所以圆心到直线的距离为d==,由圆心到直线的距离公式得d=