2.1 坐标法-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（人教B版）

2.1　坐标法 学习目标 1.掌握平面上两点之间的距离公式和中点坐标公式. 2.了解两点之间的距离公式及中点坐标公式的推导方法. 3.体会坐标法在几何中的作用. 4.坐标法在证明几何问题中的应用. 1.平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上两点间的距离公式:数轴上点A对应的数为x1,点B对应的数为x2,则有|AB|=||=|x2-x1|. (2)中点坐标公式:已知平面直角坐标系中的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),若点M(x,y)是线段AB的中点,则有x=,y=. (3)两点之间的距离公式:已知平面直角坐标系中的两点A(x1,y1),B(x2,y2),则向量=(x2-x1,y2-y1),|AB|=||=. 2.坐标法 通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算等解决了问题.这种解决问题的方法称为坐标法. 　两点间距离公式的应用 [例1] (1)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(-3,2),C(0,5),则△ABC的周长为(　　) A.4 B.8 C.12 D.16 (2)已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a等于(　　) A.1 B.-5 C.1或-5 D.其他值 解析:(1)因为A(4,1),B(-3,2),C(0,5), 所以|AB|===5, |BC|===3, |AC|===4. 所以△ABC的周长为|AB|+|BC|+|AC|=5+3+4=12.故选C. (2)因为点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5, 所以=5,即(a+2)2=9, 解得a=1或-5.故选C. 针对训练:若在x轴的正半轴上有一点M到A(-5,6),B(a,-2)两点的距离都为10,则a=　　　　.  解析:设M(x,0)(x>0), 由|MA|=10得=10, 所以(x+5)2=64, 因为x>0,所以x=3, 所以M(3,0), 由|MB|=10得=10, 所以a=3+4或a=3-4. 答案:3+4或3-4 在求到某点的距离满足某些条件的点P(x,y)的坐标时,需要根据已知条件列出关于x,y的方程或方程组,解之即可. 　中点坐标公式的应用 [例2] (1)若A(4,0)与点B关于点(2,1)对称,则点B的坐标为(　　) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2) (2)已知线段AB的端点A(3,4)及中点O(0,3),则点B的坐标为(　　) A.(,) B.(-3,2) C.(3,2) D.(3,10) 解析:(1)设B(a,b),由题意可知,AB的中点坐标为(2,1), 则解得a=0,b=2,所以B(0,2).故选B. (2)由题意及中点坐标公式可知 解得所以点B的坐标为(-3,2).故选B. 针对训练:(1)已知三点A(x,5),B(-2,y),C(1,1),且点C是线段AB的中点,求x,y的值; (2)求点M(4,3)关于点N(5,-3)的对称点. 解:(1)由题意知 解得 (2)设所求点的坐标为(x,y), 则解得 故所求对称点的坐标为(6,-9). 两点关于某点对称,即此点是两点的中点,再利用中点坐标公式即可求解. 　坐标法的应用 [例3] 已知△ABC的三边长满足|AC|2+|AB|2=5|BC|2,BE,CF分别为边AC,AB上的中线,用坐标法证明:BE⊥CF. 证明:以F为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示. 设A(-a,0),B(a,0),C(x,y),则E(,),F(0,0). 由于|AC|2+|AB|2=5|BC|2, 则(x+a)2+y2+4a2=5[(x-a)2+y2], 化简得x2+y2-3ax=0. 由=(,),=(-x,-y), 所以·=-==0,故BE⊥CF. 针对训练:在△ABC中,D为BC边上任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,则△ABC为(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 解析:如图所示,作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系. 设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0)(b<d<c). 因为|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|, 所以b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d), 所以-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d), 又因为d-b≠0, 所以-b-d=c-d, 即-b=c. 所以|OB|=|OC|. 又AO⊥BC, 所以△ABC为等腰三角形.故选A. 建立平面直角坐标系的常见技巧: (1)对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目,可以建立恰当的平面直角坐标系,用坐标法将几何问题代数化,使复杂的逻辑思维转化为简