第二章 平面解析几何 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（人教B版）

章末总结 题型一　圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系 [典例1] (多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　) A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时,|PB|=3 D.当∠PBA最大时,|PB|=3 解析:因为A(4,0),B(0,2), 所以过点A,B的直线方程为+=1, 即x+2y-4=0, 圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心坐标为(5,5), 圆心到直线x+2y-4=0的距离为 d===>4, 所以点P到直线AB的距离的范围为 [-4,+4], 因为<5,所以-4<1,+4<10, 所以点P到直线AB的距离小于10,但不一定大于2,故A正确,B错误; 如图,当过点B的直线与圆相切时,满足∠PBA最小或最大(点P位于P1时∠PBA最小,位于P2时∠PBA最大), 此时|BC|== =, 所以|PB|===3,故C,D正确.故选ACD. 题组训练 1.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(　B　) A. B. C. D. 解析:因为圆与两坐标轴都相切,且点(2,1)在该圆上,所以可设圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2,所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为=或=.故选B. 2.(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　ABD　) A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切 解析:圆心C(0,0)到直线l的距离d=, 若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2, 所以d==|r|, 则直线l与圆C相切,故A正确; 若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2, 所以d=>|r|, 则直线l与圆C相离,故B正确; 若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2, 所以d=<|r|, 则直线l与圆C相交,故C错误; 若点A(a,b)在直线l上, 则a2+b2-r2=0即a2+b2=r2, 所以d==|r|,直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD. 题型二　求圆锥曲线方程 [典例2] (2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:不妨设|F2B|=m, 故|F1B|=|AB|=|AF2|+|F2B|=3|F2B|=3m. 由椭圆的定义得|F1B|+|F2B|=2a=4m, 故|F2B|=a,|BF1|=a,|AF2|=a,|AF1|=2a-|AF2|=a. 在△AF1F2和△BF1F2中,分别可得 由二角互补可得=-, 解得a2=3, 故b2=2,方程为+=1. 故选B. 一般情况下,求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的关键是确定a,b,p的值和焦点所在的坐标轴,若给出椭圆、双曲线、抛物线的顶点坐标或焦点坐标,则焦点所在的坐标轴易得.再结合c2=a2+b2或c2=a2-b2和e=列关于a,b的方程(组),解方程(组)可得标准方程. 题组训练 1.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p等于(　D　) A.2 B.3 C.4 D.8 解析:因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点(,0)是椭圆+=1的一个焦点,所以3p-p=()2,解得p=8.故选D. 2.(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(　B　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:由双曲线的一条渐近线方程为y=x, 得4b2=5a2, 椭圆+=1的一个焦点为(3,0), 所以c=3. 在双曲线中c2=a2+b2得a2=4,b2=5. 故选B. 题型三　求离心率 [典例3] (2021·全国甲卷)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析:F1,F2为双曲线C的两个焦点,P是C上的一点,|PF1|=3|PF2|, 设|PF1|=3m,|PF2|=m,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2m=2a,即m=a,