2.8 直线与圆锥曲线的位置关系-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（人教B版）

2.8　直线与圆锥曲线的位置关系 选题明细表 知识点、方法 题号 直线与圆锥曲线的位置关系 1,2,5 弦长问题 3,8,9 中点弦问题 4,12 综合 6,7,10,11 基础巩固 1.(2021·云南高二阶段练习)过点(1,1)的直线与双曲线x2-y2=4只有一个公共点,则满足条件的直线有(　B　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析:根据双曲线的方程可知,该双曲线为等轴双曲线,点(1,1)在一条渐近线上, 因此过点(1,1)的直线与双曲线x2-y2=4只有一个公共点,分两种 情况: (1)直线与另一条渐近线平行,此时直线方程为x+y=2,　 (2)直线与双曲线相切,设该直线斜率为k(k≠±1),则直线方程为y- 1=k(x-1),联立直线方程与双曲线方程得消去y整理得(1-k2)x2+2k(k-1)x-(k-1)2-4=0, 令[2k(k-1)]2+4(1-k2)[(k-1)2+4]=0,解得k=1或k=-,因为k≠±1,所以当且仅当k=-时,直线与双曲线相切. 综上,满足条件的直线有2条.故选B. 2.若直线mx+ny=4与☉O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是(　B　) A.至多为1 B.2 C.1 D.0 解析:由题意知,>2,即<2, 所以+<1, 所以点P(m,n)在椭圆+=1的内部, 故所求交点个数是2.故选B. 3.(多选题)若直线y=x+t与椭圆+y2=1相交于A,B两点,当t变化时,|AB|的值可能为(　ABC　) A.2 B. C. D. 解析:将y=x+t代入+y2=1, 得5x2+8tx+4t2-4=0, 则x1+x2=-,x1x2=. 由|AB|=× =×, 当t=0时|AB|最大,最大值为×=, t=±时,|AB|最小,最小值为0.故选ABC. 4.(2021·辽宁期中)椭圆+=1中,以点M(1,)为中点的弦所在直线的斜率为(　C　) A.- B.-4 C.- D.-2 解析:设弦AB的端点为(x1,y1),(x2,y2), 即有+4=8,+4=8,两式相减可得, (x1+x2)(x1-x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0, 由中点坐标公式可得,x1+x2=2,y1+y2=1, 代入上式可得2(x1-x2)+4(y1-y2)=0, 即kAB==-.故选C. 5.(2021·浙江金华第一中学高一期末)已知椭圆C:+=1与动直线l:y=x+m相交于A,B两点,则实数m的取值范围为　　　　. 解析:联立 消去y整理可得9x2+6mx+2m2-18=0, 由已知可得Δ=36m2-36(2m2-18)=36(18-m2)>0,解得-3<m<3. 答案:(-3,3) 6.已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为　　　　 　　,双曲线N的离心率为　　　　. 解析:法一　双曲线N的渐近线方程为y=±x, 则=tan 60°=, 所以双曲线N的离心率e1满足=1+=4, 所以e1=2. 由 得x2=. 如图,设点D的横坐标为x, 由正六边形的性质得|ED|=2x=c, 所以4x2=c2. 所以=a2-b2, 得3a4-6a2b2-b4=0, 所以3--()2=0, 解得=2-3. 所以椭圆M的离心率e2满足=1-=4-2. 所以e2=-1. 法二　双曲线N的渐近线方程为y=±x, 则=tan 60°=. 又c1==2m, 所以双曲线N的离心率为=2. 如图,连接EC,由题意知,F,C为椭圆M的两焦点, 设正六边形的边长为1, 则|FC|=2c2=2,即c2=1. 又E为椭圆M上一点, 则|EF|+|EC|=2a, 即1+=2a, 所以a=. 所以椭圆M的离心率为==-1. 答案:-1　2 能力提升 7.(多选题)已知双曲线M:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c.若双曲线M的右支上存在点P,使=,则双曲线M的离心率的取值可以为(　BC　) A.1 B. C. D.2 解析:根据正弦定理可知=, 所以=, 即|PF2|=|PF1|, 又因为|PF1|-|PF2|=2a, 所以(1-)|PF1|=2a, 解得|PF1|=, 而|PF1|>a+c, 即>a+c, 整理得3e2-4e-1<0, 解得<e<. 又因为离心率e>1, 所以1<e<.故选BC. 8.(2021·河南高二期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,过点(2,0)的直线与抛物线C交于A,B两点,且|AF|+|BF|=7,则 △OAB的面积为(　B　) A.4 B.6