第一章 空间向量与立体几何 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习课件PPT（人教B版）

章末总结 数学 网络构建·归纳整合 真题体验·素养落地 数学 网络构建·归纳整合 数学 真题体验·素养落地 题型一　直线与平面的夹角 [典例1] (2020·新高考Ⅰ卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明:l⊥平面PDC; 数学 (1)证明:因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD. 又底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC. 因此AD⊥平面PDC. 因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,所以AD∥平面PBC. 由已知得l∥AD. 因此l⊥平面PDC. 数学 [典例1] (2020·新高考Ⅰ卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 数学 数学 方法总结 直线与平面所成的角是高考热点和难点,解决此类题时常利用向量法,解题关键是求平面的法向量,再由向量的夹角公式求解. 数学 题组训练 1.(2018·全国Ⅰ卷)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF. (1)证明:平面PEF⊥平面ABFD; (1)证明:由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF, 又PF∩EF=F,所以BF⊥平面PEF. 又BF⊂平面ABFD, 所以平面PEF⊥平面ABFD. 数学 1.(2018·全国Ⅰ卷)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF. (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 数学 数学 2.(2020·全国Ⅱ卷)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F. (1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F; 数学 (1)证明:因为M,N分别为BC,B1C1的中点, 所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1,故AA1∥MN. 因为△A1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N. 又B1C1⊥MN,故B1C1⊥平面A1AMN. 所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F. 数学 2.(2020·全国Ⅱ卷)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F. (2)设O为△A1B1C1的中心.若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平 面A1AMN所成角的正弦值. 数学 数学 题型二　二面角的求法 [典例2] (2019·全国Ⅰ卷)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1= 4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN∥平面C1DE; 数学 数学 [典例2] (2019·全国Ⅰ卷)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1= 4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. (2)求二面角A-MA1-N的正弦值. 数学 数学 方法总结 利用空间向量求解几何体中的二面角的余弦值. 数学 题组训练 (1)证明:PA⊥平面PBC; 数学 数学 (2)求二面角B-PC-E的余弦值. 数学 数学 2.(2019·全国Ⅱ卷)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1. (1)证明:BE⊥平面EB1C1; (1)证明:由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE. 又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1, 所以BE⊥平面EB1C1. 数学 2.(2019·全国Ⅱ卷)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1. (2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值. 数学 数学 模拟演练 题型一　两条直线所成的角 1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1C1的中点,则异面直线DE与B1C所成角的大小为(　 　) A.15° 　　B.30° C.45° 　　D.60° B 数学 数学 2.如图所示,在三棱锥P–ABC中,PA⊥平面ABC,D是棱PB的中点,已知PA=BC= 2,AB=4,CB⊥AB,则异面直线PC,AD所成角的余弦值为(　 　) D 数学 数学 题型二　直线与平面的夹角的求法 (1)求证:四边形ABCD是直角梯形; 数学 数学 (2)求直线AE与平面PCD