1.2 空间向量在立体几何中的应用-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习课件PPT（人教B版）

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 数学 学习目标 1.能用向量语言表述直线和平面,理解直线的方向向量. 2.能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行关系. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.空间中的点与空间向量 位置向量 数学 2.空间中的直线与空间向量 (1)一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l. (2)如果v1是直线l1的一个方向向量,v2是直线l2的一个方向向量,则v1∥v2⇔l1∥l2,或l1与l2重合. 3.空间中两条直线所成的角 (1)空间中两条相交直线所成角的大小,指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小. 两条异面直线a,b所成角的大小,等于两条相交直线a′,b′所成角的大小,其中a′∥a且b′∥b. 空间中两条平行直线所成角的大小规定为0°. 空间中任意两条直线所成角(即它们之间的夹角)的大小都是确定的.特别地,当空间中两条直线l,m所成角的大小为90°时,l与m垂直,记作l⊥m. 数学 (2)如果v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小 为θ,则θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>;sin θ=sin<v1,v2>或cos θ= |cos<v1,v2>|. 4.异面直线与空间向量 (1)设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量. ①“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件. (2)一般地,如果l1,l2是空间中两条异面直线,M∈l1,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称MN为l1,l2的公垂线段,两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离. 数学 拓展总结 设两直线l,m的方向向量分别为v1,v2,v1=(a1,b1,c1),v2=(a2,b2,c2). (1)l∥m⇔v1∥v2⇔v1=kv2(k∈R)⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2; (2)l⊥m⇔v1⊥v2⇔v1·v2=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 利用直线的方向向量判定线线的位置关系 解:(1)因为a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1), 所以a=-2b, 所以a∥b,所以l1∥l2. 数学 解:(2)因为a=(5,0,2),b=(0,1,0), 所以a·b=0,所以a⊥b,所以l1⊥l2. 数学 针对训练:若直线l1,l2的方向向量分别为m=(2,-1,-1),n=(1,1,1),则这两条直线(　　) A.平行 B.垂直 C.异面垂直 D.垂直相交 解析:因为m·n=2×1+(-1)×1+(-1)×1=0,所以m⊥n,所以l1⊥l2.故选B. 数学 方法总结 利用直线的方向向量判断直线与直线的位置关系是直线的方向向量的基本应用,解决此类问题需注意以下几点: (1)能熟练地判断两向量的共线与垂直. (2)搞清直线的方向向量,平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系. (3)将向量问题转化为几何问题时的等价性. 数学 探究点二 向量法判断线线平行、垂直 数学 数学 数学 变式探究1:若将本例中的PQ⊥AE改为B1Q⊥EQ,其他条件不变,结果如何? 数学 变式探究2:本例中,若G是A1D的中点,点H在平面xOy上,且GH∥BD1,试判断点H的位置. 数学 数学 方法总结 解决空间向量垂直、平行问题的思路: (1)若有关向量已知时,通常需要设出向量的坐标.例如,设向量a= (x,y,z). (2)在有关平行的问题中,通常需要引入参数.例如,已知a∥b,则引入参数λ,有a=λb,再转化为方程组求解. (3)选择向量的坐标形式,可以达到简化运算的目的. 数学 探究点三 求两条异面直线所成的角 数学 数学 针对训练:如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线BA1和AC所成角的大小. 数学 数学 方法总结 用坐标法求异面直线所成角的一般步骤: (1)建立空间直角坐标系. (2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标. (3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角. (4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角. 数学 当堂检测 1.若点A(2,1,1),B(1,2,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　 　) A.(2,1,2) B.(-2,2,3) C.(-1,1,1) D.(1,0,0) C 数学 B 解析:由于l1⊥l2,则a·b=1×(-2)+2×3-2m=4-2m=0,解得m=2.故选B. 数学 3