1.1 空间向量及其运算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习课件PPT（人教B版）

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 数学 学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 大小 方向 模 长度 长度 数学 (2)几类特殊的空间向量: 名称 定义及表示 零向量 始点与终点相同的向量称为 ,零向量的方向是不确定的,通常用0表示,零向量的模为0.|0|=0 单位向量 的向量称为单位向量,e是单位向量的充要条件为|e|=1 相反向量 与向量a大小 、方向 的向量,称为a的相反向量,记为-a 相等向量 大小相等、方向 的向量称为相等向量.向量a和b相等,记作a=b 向量 平行 如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行.规定零向量与任意向量平行 零向量 模等于1 相等 相反 相同 数学 向量共线 两个向量a和b平行,记作a ∥b,两个向量平行也称为两个向量共线 向量共面 空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在同一平面内,则称这些向量共面;否则,称这些向量不共面 2.空间向量的线性运算 (1)加减运算及运算律: 空间向量加法交换律:a+b=b+a. 数学 (2)空间向量数乘运算: 给定一个实数λ与任意一个空间向量a,规定它们的乘积是一个空间向量,记作λa. ①当λ≠0且a≠0时,|λa|=|λ||a|. λa的方向: 当λ>0时,与向量a的方向 ; 当λ<0时,与向量a的方向 . ②当λ=0或a=0时,λa=0. (3)空间向量的线性运算满足以下运算律: ①λ(μa)=(λμ)a; ②λa+μa=(λ+μ)a; ③λ(a+b)=λa+λb. 相同 相反 数学 (2)空间向量的数量积的定义: 两个非零向量a,b的数量积(也称内积)定义为a·b=|a||b|cos<a,b>. ∠AOB 数学 (3)两个向量数量积的几何意义: 过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线,即可得到向量a在向量b上的投影a′,a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积,特别地,a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量.规定零向量与任意向量的数量积为0. (4)空间向量的数量积的性质: ①a⊥b⇔a·b=0; ②a·a=|a|2=a2; ③|a·b|≤|a|·|b|; ④(λa)·b=λ(a·b); ⑤a·b=b·a(交换律); ⑥(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 数学 拓展总结 数学 (6)(a+b)2=a2+2a·b+b2,(a-b)2=a2-2a·b+b2. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 有关空间向量的概念的理解 数学 数学 数学 方法总结 在空间,向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同,大小相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等,方向相反. 数学 探究点二 空间向量的线性运算 数学 数学 数学 数学 数学 数学 方法总结 根据向量相等的概念,运算时可以根据需要平移向量;化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则.在化简过程中遇到减法时,可灵活应用相反向量转化成加法,也可以按减法法则进行运算,加减法之间可相互转化. 数学 数学 数学 数学 方法总结 应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量运算的前提,表示向量时要注意选定向量,明确转化的目标. 数学 数学 数学 数学 数学 方法总结 判定向量a,b(b≠0)共线,只需利用已知条件找到实数x,使a=xb即可.证明点共线,只需证明对应的向量共线. 数学 探究点三 空间向量的数量积运算 数学 数学 数学 针对训练:已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a. 数学 针对训练:已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a. 数学 针对训练:已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a. 数学 方法总结 两向量的数量积的运算结果是数量,而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律. 数学 学海拾贝 利用数量积求距离 [典例探究] 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3, ∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长. 数学 数学 规律总结 数学 [应用探究]如图,已知线段AB⊥平面α,BC⊂α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,D与A在α的同侧,若AB=BC=CD=2,求A,D两点间的距离