2.7 抛物线及其方程-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习课件PPT（人教B版）

2.7　抛物线及其方程 2.7.1　抛物线的标准方程 数学 学习目标 1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解抛物线的定义和标准方程. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 相等 1.抛物线的定义 一般地,设F是平面内的一个定点,l是不过点F的一条定直线,则平面上到F的距离与到l的距离 的点的轨迹称为抛物线,其中定点F称为抛物线的 ,定直线l称为抛物线的 . 焦点 准线 数学 2.抛物线的标准方程 四种抛物线对应的图像、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下: 数学 数学 拓展总结 (1)抛物线的定义的实质可归纳为“一动三定”:一个动点,设为M;一个定点F(抛物线的焦点);一条定直线(抛物线的准线);一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1). (2)抛物线标准方程的特点: 数学 师生互动·合作探究 探究点一 抛物线定义的理解及应用 A.两条射线 B.抛物线和一条线段 C.抛物线和一条直线 D.抛物线和两条射线 数学 针对训练:平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程. 数学 方法总结 抛物线的判断方法: (1)可以看动点是否符合抛物线的定义,即到定点的距离等于到定直线 (直线不过定点)的距离. (2)求出动点的轨迹方程,看方程是否符合抛物线的方程. 数学 探究点二 求抛物线的标准方程 [例2] (2021·江苏高二课时练习)根据下列条件求抛物线的标准方程. (1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点; 数学 [例2] (2021·江苏高二课时练习)根据下列条件求抛物线的标准方程. (2)过点P(2,-4); 解:(2)由于P(2,-4)在第四象限,可设方程为y2=mx或x2=ny, 将P点坐标代入方程求得m=8,n=-1, 所以所求抛物线的标准方程为y2=8x或x2=-y. 数学 [例2] (2021·江苏高二课时练习)根据下列条件求抛物线的标准方程. (3)抛物线的焦点在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5. 数学 针对训练:已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值,并写出抛物线的焦点坐标和准线方程. 数学 方法总结 抛物线标准方程的求法: (1)定义法.建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程,进行化简,根据定义求出p,最后写出标准方程. (2)待定系数法.由于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上,进而确定方程的形式,再利用已知条件确定p的值. 数学 探究点三 抛物线的实际运用 [例3] 一种卫星接收天线的轴截面如图所示,卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8 m,深度为0.5 m,试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标. 数学 解:如图,在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合.设抛物线的标准方程为y2=2px (p>0),由已知条件可得,点A的坐标是(0.5,2.4),代入方程,得2.42=2p× 0.5,即p=5.76.所以所求抛物线的标准方程是y2=11.52x, 焦点坐标是(2.88,0). 数学 针对训练:(2021·湖南长沙明德中学高二阶段练习)某河流上有一座抛物线形的拱桥,已知桥的跨度AB=10 m,高度h=5 m(即桥拱顶到基座AB所在的直线的距离).由于河流上游降雨,导致河水从桥的基座AB处开始上涨了1 m,则此时桥洞中水面的宽度为　　　　m.  数学 方法总结 把实际问题转化为数学问题,利用抛物线的知识来解决实际问题.在建立抛物线的标准方程时,常以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系,这样可使得标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简单,便于应用. 数学 当堂检测 D 1.(2021·北京新农村中学高三阶段练习)抛物线x2=4y的准线方程为( 　) A.x=1 B.x=-1 C.y=1 D.y=-1 解析:由x2=4y可得p=2,所以准线方程为y=-1.故选D. 数学 D 2.焦点在直线x=1上的抛物线的标准方程是(　 　) A.y2=2x B.x2=4y C.y2=-4x D.y2=4x 数学 D 数学 4.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是　　　　.  数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px (