2.2 直线及其方程-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习课件PPT（人教B版）

2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 数学 学习目标 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2.理解直线斜率的几何意义,掌握倾斜角与斜率的对应关系. 3.掌握过两点的直线的斜率公式. 4.直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.直线的倾斜角 (1)定义:一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点按 旋转到与直线 时所转的 记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角;如果这条直线与x轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为 . (2)性质:一般地,如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,直线l的倾斜角为θ,则: ①当y1=y2时(此时必有x1≠x2),θ= ; ②当x1=x2时(此时必有y1≠y2),θ= ; 逆时针方向 重合 最小正角 0° 0° 90° 数学 2.直线的斜率 (1)定义:如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称 为直线l的斜率;当θ=90°时,称直线l的斜率 .  k=tan θ ③当x1≠x2且y1≠y2时,tan θ= . 不存在 (2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当x1≠x2时,直线l的斜 率为k= ;当x1=x2时,直线l的斜率 . 不存在 3.直线的方向向量 (1)定义:一般地,如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l ,则称向量a为直线l的一个方向向量,记作 . 平行或重合 a∥l 数学 (2)直线l的方向向量的性质. ①如果a为直线l的一个方向向量,那么对于任意的实数λ≠0,向量 都是l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量一定 . λa 共线 (3)直线的方向向量与直线的斜率的关系. 一般地,如果已知a=(u,v)为直线l的一个方向向量,则: ①当u=0时,显然直线l的斜率不存在,倾斜角为 ; 90° 数学 ②当u≠0时,直线l的斜率是存在的,而且此时(1,k)与a=(u,v)都是直线l的一个方向向量,由直线的任意两个方向向量共线可知1×v=k×u,从而 k= ,因此可知倾斜角满足tan θ= . 4.直线的法向量 (1)定义:一般地,如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直,则称向量v为直线l的一个法向量,记作 . (2)直线的方向向量与法向量 . v⊥l 互相垂直 数学 拓展总结 斜率与倾斜角的对应关系: 图示 倾斜角 (范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 斜率 (范围) 0 (0,+∞) 不存在 (-∞,0) 结论:直线的斜率与倾斜角不是一一对应,当倾斜角为90°时,直线的斜率不存在. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 直线的倾斜角和斜率 [例1] (1)过两点A(3-m-m2,-2m),B(m2+2,3-m2)的直线的倾斜角为135°,则实数m的值为　　　　.  答案:(1)-2 数学 (2)已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点,则l的倾斜角的取值范围是　　 　,直线l的斜率k的取值范围是　　　　　　.  数学 针对训练:(1)一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为(　　) A.α B.180°-α C.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α 解析:(1)如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;当l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°-α.故选D. 数学 (2)若经过点P(m,-1),Q(5,m)的直线的斜率为2,则m等于(　　) A.1 B.3 C.1或3 D.4 数学 方法总结 (1)求直线的倾斜角的方法及两点注意. ①方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角. ②两点注意:a.当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°. b.注意直线的倾斜角的取值范围是[0°,180°). (2)求直线的斜率. ①判断两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在. 数学 ③由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用公式 k=tan α(α≠90°)解决. 易错