专题02 直线与圆18大题型77题（期中专项训练）高二数学上学期人教B版

专题02 直线与圆 基础·固本强基 题型1 直线的倾斜角与斜率（重点） 题型2 直线方程的求法（重点） 题型3 两直线的位置关系（重点） 题型4 三种距离公式（重点） 题型5 圆的方程（重点） 题型6 点、直线与圆的位置关系（重点） 提升·融会贯通 题型1 直线与圆相交——弦长问题（重点） 题型2 圆的切线问题 题型3 圆与圆的位置关系 题型4 直线过定点问题（重点） 题型5 对称问题 题型6 与圆有关的最值问题（重点） 拔高·压轴突破 题型1 与圆有关的轨迹方程（难点） 题型2 定值与定点问题（难点） 题型3 多选综合 题型4 新定义与折叠问题（重难点） 题型5 直线与圆的实际应用（难点） 题型6 解答题综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 直线的倾斜角与斜率（共6小题） 【模型】斜率 （）——先看倾斜角是不是 ，再谈斜率。 【步骤】① 由直线方程化斜截式求 ，或由两点求 ；② 由 的取值借助正切图象定倾斜角范围；③ 别忘 不存在（）的特例。 【易错】倾斜角范围是 ； 时角在 ， 时在 ， 时角为 ——由 的符号定角范围时，把“ 无斜率”单独拎出来。 1．直线的斜率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】由题意可得直线的斜率是． 故选：D 2．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】直线的斜率为， 故选：C． 3．直线的斜率（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】将直线的一般式方程化成斜截式方程为, 则直线的斜率为. 故选：B. 4．设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】由题意可知，， 当时，则为钝角，且； 当时，此时，. 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 故选：D. 5．已知直线的方程为，则该直线的斜率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】直线的方程为，化为斜截式， 故直线的斜率为. 故选：A. 6．(25-26高二上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)若斜率为的直线l经过点，则l与两坐标轴围成的三角形面积为（　　） A．8　　B．16　　C．32　　D．64 【答案】B 【详解】因为斜率为的直线l经过点，所以直线l方程为， 令，得，令，得， 所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为. 故选：B 题型2 直线方程的求法（共6小题） 【模型】选式而列——点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，按已知条件选最顺手的，最后统一化成一般式。 【步骤】① 找“点 + 斜率”或“两点”；② 代入对应形式；③ 检验特殊情况（斜率不存在、截距为 ）；④ 化为一般式收尾。 【易错】截距式要求截距非零；“在两坐标轴上截距相等”要分“相等”与“互为相反数”两类，且都要考虑过原点的直线。 7．直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______． 【答案】 【详解】由直线的点斜式可得，方程为，化为一般式方程为. 故答案为： 8．直线在轴上的截距为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】直线的方程化为截距式方程为，因此，直线在轴上的截距为. 故选：C. 9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（　　） A．　　B．　　C．或　　D．或 【答案】C 【详解】当直线过原点时，其方程是，符合题意; 当直线不过原点时，设直线方程为，代入， 可得：，解得：，所以方程是. 故选：C. 10．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程为________ 【答案】或或 【详解】当直线在两坐标轴上截距绝对值相等且不等于0， 设方程为或， ∵直线过∴或， ∴或， ∴或②当直线在两坐标轴截距绝对值相等且等于0时， 设方程为， ∵直线过， ∴， ∴， ∴， 综上所述，方程为或或. 故答案为：或或. 11．过点且与直线垂直的直线的一般式方程为___________. 【答案】 【详解】由，可知其斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为：， 即， 故答案为： 12．(25-26高二上·辽宁辽西重点高中·期中)若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的值为（　　） A．　　B．1　　C．　　D．7 【答案】A 【详解】由直线在轴上的截距为，得，解得， 由直线的倾斜角为，得，直线的倾斜角为， 因此，解得， 所以. 故选：A 题型3 两直线的位置关系（共5小题） 【模型】平行看 且不重合，垂直看 ——用一般式系数最稳。 【步骤】① 化为一般式，用系数关系判断；② 判平行时排除重合；③ 含参数时对“斜率存在/不存在”分类讨论。 【易错】用 判垂直的前提是两直线斜率都存在；判平行别忘排除重合——先平行条件、再验截距。 13．已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】因为直线l与直线垂直， 所以设直线l的方程为， 因为直线l经过点， 所以，得， 所以直线l的方程为， 故选：D 14．（多选）已知直线，则下列判断正确的是（　　） A．在轴上的截距为3　 　B．若，则 C．若，则　 　D．若相交于一点，则 【答案】BC 【详解】选项A：令中，得，故在x轴上的截距为，A错误. 选项B：斜率为，斜率为，若，则，解得，B正确. 选项C：若，则，解得，C正确. 选项D：由解得， 所以与的交点为，代入得，解得，D错误. 故选：BC 15．(25-26高二上·辽宁锦州市渤海大学附属高级中学·期中)（多选）设，直线的方程为，则（　　） A．直线过定点　　B．若直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为 C．直线与圆相交　　D．点到直线的最大距离为 【答案】BCD 【详解】解：对于A项，直线的方程为化为， 由，解得，所以直线恒过定点，A错误； 对于B项，当直线在x轴上的截距为时，令，则，解得， 此时直线l的方程为，则在轴上的截距为，B正确； 对于C项，由A项可知直线过点，因为， 所以点在圆的内部，故直线与圆相交，C正确； 对于D项，当点与点的连线与垂直时，点到直线的距离最大， 且该最大距离为，D正确. 故选：BCD. 16．已知直线，则下列结论正确的个数是（    ）①直线的截距为②向量是直线的一个法向量③过点与直线平行的直线方程为④若直线，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】对于①,令,则;令,则,故①错误; 对于②,因为直线的方向向量为或,则,所以向量是直线的一个法向量,故②正确; 对于③,设与直线平行的直线方程为,因为直线过点,所以,所以过点与直线平行的直线方程为,故③正确; 对于④, 直线,直线,则,所以两直线垂直，故④正确, 所以结论正确的个数为3， 故选: B. 17．（多选）以下四个命题叙述正确的是（　　） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线：，：，若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，直线 ，令 ，得 ，即其在 轴上的截距是 ，A 错误； 对于B，联立 ，当 时，由 代入得 ，解得 ，，即交点 ；代入 ：，成立，故 ，B 正确； 对于C， 的最小值即为原点 到直线 的距离，，C 正确； 对于D，由 得 ，即 ，解得 或 ；当 时两直线均为 ，重合，舍去，故 ，D 正确． 故选：BCD． 题型4 三种距离公式（共5小题） 【模型】两板斧：两点距、点线距 、平行线间 。 【步骤】① 分清求哪一种距离；② 点线距先把方程化为一般式再代公式；③ 与最值结合时抓“垂线段最短”。 【易错】平行线间距离公式要求 、 系数完全相同——先乘除统一系数再代公式。 18．已知直线l经过2x＋y－5=0与x－2y=0的交点，则点A(5,0)到l的距离的最大值为________． 【答案】 【详解】联立方程，解得：，故交点坐标为，直线l经过点，则点A(5,0)到l的距离的最大值为AB的长，且, 故答案为： 19．(24-25高二上·辽宁抚顺市四方高级中学·期中)圆的圆心到直线的距离为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 20．已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（    ）.（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】因为x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为， ∴直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 对于B：的斜率为，B选项错误； 对于C：的斜率为，C选项错误； 对于D：的斜率为，D选项错误； 对于A：点O到直线l的距离为，A选项正确； 故选：A. 21．(25-26高二上·辽宁实验中学·期中)已知直线，当k变化时，点到直线l的距离的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为直线，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，到直线l的距离最大， 此时， 又因为当直线过点时，，所以. 故答案为：. 22．(25-26高二上·辽宁沈阳市东北育才学校·期中)点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（λ为任意实数）的距离的最大值为（　　） A．　　B．6　　C．　　D．5 【答案】B 【详解】将直线方程变形为l：，由,解得直线过定点， P在单位圆上运动, 圆,圆的半径故原点到直线l距离的最大值为， 则P点到直线l的距离的最大值为. 故选:B． 题型5 圆的方程（共5小题） 【模型】标准式 直接读圆心半径；一般式 需 。 【步骤】① 选标准式或一般式待定系数；② 用“圆心在某直线上”“过某两点”列方程；③ 解出后回代检验。 【易错】一般式表示圆必须满足 ，求参数范围时别漏；配方时 、 要除以 2 的符号易错。 23．圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【详解】设该圆的标准方程为， 将代入方程，可得，解得， 得到圆的标准方程为，故C正确. 故选：C 24．圆心为，半径是3的圆的标准方程为（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】C 【详解】圆心为，半径是3，圆的标准方程为. 故选：C. 25．圆的圆心坐标和半径分别是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】由可知圆的圆心坐标为，半径为2. 故选：B 26．(25-26高二上·辽宁七校协作体·期中)圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 【详解】由题意分析可知，圆心在轴上，且在轴的正半轴上， 设半径为，圆心坐标为，， 则，解得， 其圆心坐标为， 则圆的方程为，即. 故选：D 27．(25-26高二上·辽宁大连市第八中学·期中)已知一个圆与轴相切，其圆心在射线上，且被直线截得弦长为，则此圆的方程为___________. 【答案】 【详解】因为圆心在射线上，所以可设圆心为，， 又因为圆与轴相切，所以圆的半径为，. 所以圆的方程为. 因为圆被直线截得弦长为， 所以 ，又，所以. 所以所求圆的方程为：. 故答案为： 题型6 点、直线与圆的位置关系（共3小题） 【模型】点看距离与 比大小；直线与圆看 与 ： 相离、 相切、 相交。 【步骤】① 化圆为标准式得圆心与半径；② 求圆心到直线的距离 ；③ 与 比较下结论。 【易错】判位置关系优先用几何法（比 与 ），比联立方程组讨论交点个数快且不易出错。 28．已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（　　） A．相离　　B．相切　　C．相交　　D．与的取值有关 【答案】C 【详解】由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心到直线的距离， 因为，所以，则直线与圆相交. 故选：C. 29．若直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由题意，直线l的方程可化为， 所以直线l恒过定点，，可化为（）其表示以为圆心，半径为2的圆上半部分， 如图，当l与该曲线相切时，点到直线的距离，解得. 设，则. 由图可得，若要使直线l与曲线有两个交点，则. 故选：C. 30．（多选）已知直线，则（　　） A．的倾斜角为　　　B．在轴上的截距为 C．原点到的距离为1　　D．与坐标轴围成的三角形的面积为2 【答案】ABC 【详解】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确； 选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确； 选项C：原点到的距离为，故选项C正确； 选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误. 故选：ABC. 提升·融会贯通 题型1 直线与圆相交——弦长问题（共5小题） 【模型】垂径定理半日通：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，。 【步骤】① 求圆心与半径；② 求弦心距 ；③ 代弦长公式；④ 含参数时由弦长反解参数。 【易错】弦长是 ，别丢因子 2；设点斜式前先检验斜率不存在的竖直线是否也满足条件。 31．直线被圆截得的弦长为________. 【答案】2 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离所以所求弦长为. 故答案为：2 32．若直线被圆截得的弦长为，则（　　） A．　　B．　　C．2　　D． 【答案】A 【详解】由圆，圆心，半径. 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得. 故选：A. 33．直线截圆所得的弦长为（　　） A．4　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】由已知，圆， 则圆心坐标为，半径为， 所以点到直线的距离为， 所以，直线被圆截得的弦长为. 故选：A. 34．在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（　　） A．或　　B．－1或－6　　C．或　　D．－2或－7 【答案】C 【详解】由题意可知，圆C：，标准化后可得圆C：因为，，过点C作AB的垂线CD，.如图所示，，在中，. 所以，圆心C到直线 l的距离:因此，，解得，故选：C . 35．（多选）已知直线与圆相交于两点，则（　　） A．圆心的坐标为　　B．圆的半径为　　C．圆心到直线的距离为　　D． 【答案】BC 【详解】对于AB，圆：的圆心为，半径， 故A错误，B正确； 对于C，点到直线：的距离，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 题型2 圆的切线问题（共5小题） 【模型】切线的本质：圆心到切线距离等于半径；切线长 。 【步骤】① 点在圆上——过该点仅一条切线，用“半径⊥切线”求；② 点在圆外——设斜率用 解，并单独讨论斜率不存在；③ 求切线长直接用公式。 【易错】过圆外一点作圆的切线有两条——设斜率只能解出一条时，另一条就是斜率不存在的竖直线，别漏。 36．(25-26高二上·辽宁朝阳市朝阳联盟·期中)过点与圆相切的直线方程为__________. 【答案】或 【详解】易知圆心，半径，且点在圆外， 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，故切线方程为. 当直线斜率不存在时，且过，此时直线为，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切. 故所求切线方程为或. 故答案为：或. 37．过点作圆的切线，切点为，则______. 【答案】5 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 连接，因为是圆的切线，所以， 又因为，可得， 所以. 故答案为：. 38．设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为_____________. 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 因为圆心到直线的距离， 所以切线长的最小值为：． 故答案为：． 39．(25-26高二上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)（多选）已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（　　） A．若P的坐标为，则PM，PN的方程为和 B．线段PM的长度的最小值为 C．四边形PMCN的面积的最小值为 D．直线MN过定点 【答案】ACD 【详解】选项A，圆C：的圆心为，半径为， 当过的直线无斜率时，此直线方程为，圆心到的距离为2， 故直线与圆相切； 当过的直线有斜率时，设此直线方程为，，圆心到的距离为，直线方程为与圆相切，，，，过的切线方程为， 即， 综上可知，若P的坐标为，则PM，PN的方程为和， 故选项A正确； 选项B，，求的最小值转化为求的最小值，点P是直线l：上一动点，的最小值为圆心到直线的距离，，故选项B错误； 选项C，四边形PMCN由两个全等的直角三角形和组成， 则四边形PMCN的面积， 当最小时，最小，由选项B中可知，， 即则四边形PMCN的面积的最小值为，故选项C正确； 选项D，点P是直线l：上一动点，设，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为， 即， 整理得，，解得，则直线MN过定点，故选项D正确. 故选：ACD. 40．已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】切线长，所以当取得最小值时，切线长取得最小值.当 共线且点在之间时，最小，由于,所以min， 所以. 故选：. 题型3 圆与圆的位置关系（共5小题） 【模型】五类位置关系全由圆心距 与 、 的大小决定。 【步骤】① 化标准式得两圆圆心与半径；② 计算圆心距 ；③ 与两半径和、差比较定关系。 【易错】相交 ，两个不等式缺一不可；公切线条数与位置关系一一对应，别凭感觉。 41．圆与圆的公切线有且仅有（　　） A．4条　　B．3条　　C．2条　　D．1条 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，因此圆外离， 所以圆有4条公切线. 故选：A 42．两圆和的位置关系是（　　） A．外离　　B．相交　　C．内切　　D．外切 【答案】B 【详解】因为圆的圆心，半径， 圆圆心，半径而,，，两圆和相交. 故选：B 43．(25-26高二上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)已知圆和圆，则（　　） A．圆与圆相切　 　B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3　　D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【详解】由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径. 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误； 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点， 即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确； 故选：D 44．（多选）若圆与圆有且仅有一条公切线，则的值可能为（　　） A．1　　B．121　　C．36　　D．126 【答案】AB 【详解】由圆与圆， 则圆， 可得，且，则， 若圆与圆有且仅有一条公切线，则与圆内切， 则满足，即，解得或， 故选：AB. 45．已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（　　） A．3　　B．　　C．　　D．2 【答案】B 【详解】由题意可得直线的方程为， 即0，则点到直线的距离是. 故选：B 题型4 直线过定点问题（共3小题） 【模型】直线系过定点：把含参方程整理为“参数 × (某式) + (某式) = 0”，令两个括号同时为零。 【步骤】① 按参数整理直线方程；② 令参数系数为零；③ 解出定点坐标；④ 代回原方程验证。 【易错】定点要代回检验在题目条件（如“直线与圆相交”）允许的范围内，别只解出坐标就收工。 46．（多选）已知直线，圆，则（　　） A．直线过定点　　 B．圆的半径是1 C．存在一个实数，使得直线经过圆的圆心　　 D．无论取何值，直线与圆相交 【答案】ACD 【详解】变形为， 令，解得：， 可得直线过定点，正确；变形为， 圆的圆心为，半径为3，则B错误； 将代入直线中，，解得：， 当时，直线经过圆心，则正确； 将代入中，， 故点在圆内，所以无论取何值，直线与圆都相交，则D正确. 故选：ACD 47．（多选）已知圆C：，直线l：，则（　　） A．直线l恒过定点　　 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．直线l被圆C截得的最小弦长为　　D．圆C与圆外切 【答案】ACD 【详解】对于A，直线l的方程为，变形可得：，令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆C：，其圆心为，半径为，当时，直线l的方程为，圆心到直线l的距离为，由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误； 对于C，因为直线过定点，且点P在圆C内，则经过，两点的直线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，此时圆心C到直线l的距离为，所以最小弦长为，故C正确； 对于D，圆的方程，即，其圆心为，半径为3，，则两圆外切，故D正确． 故选：ACD． 48．(25-26高二上·辽宁大连王府高级中学·期中)（多选）已知圆：，直线：（），则（　　） A．直线恒过定点　　 B．直线与圆有两个交点 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1　　 D．圆上的点到直线的最大距离是 【答案】ABD 【详解】对A，由，可得， 令，解得，所以直线恒过定点，A正确； 对B，设直线直线恒过定点为， 圆心,半径， 则， 所以点在圆内，则直线与圆相交， 所以直线与圆有两个交点，B正确； 对C，时，：，即， 圆心到直线的距离， 因为， 所以圆上恰有两个点到直线的距离等于1， 且这两个点均位于圆被直线所截得的优弧上，C错误； 对D，当时，圆上的点到直线的距离有最大值， 最大值为，D正确； 故选:ABD. 题型5 对称问题（共4小题） 【模型】点关于直线对称：垂足是中点、连线与直线垂直，两个条件两个方程。 【步骤】① 设对称点坐标；② 列“中点在对称轴上”与“连线垂直于对称轴”两个方程；③ 解方程组；④ 直线关于直线对称可取两个特殊点分别转化。 【易错】圆关于直线对称——圆心落在对称轴上、半径不变，只需对称圆心，别去逐个对称圆上的点。 49．已知直线，若直线与关于对称，则的方程为______． 【答案】 【详解】联立，解得，所以三条直线的交点为在上取点，依题意该点关于的对称点在上 由两点式得的方程为，化简得故答案为 50．(25-26高二上·辽宁辽西重点高中·期中)直线 关于直线 对称的直线的方程是________. 【答案】 【详解】（方法1）联立，得两直线的交点为， 设直线的方程为， 直线上的点到直线与的距离相等，即， 解得或（舍去），故的方程是. 故答案为：. （方法2：直线关于特殊直线对称）利用直线关于直线的对称直线为. 所以 关于直线 对称的直线为：，即. 故答案为：. 51．若直线关于直线对称的直线经过点，则（　　） A．　　B．1　　C．　　D． 【答案】A 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 52．圆关于直线对称，则的最小值是______． 【答案】 【详解】圆的圆心坐标为， 因为圆关于直线对称， 则直线过圆心，所以，则， 所以， 当且仅当时，即当时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 题型6 与圆有关的最值问题（共4小题） 【模型】代数最值几何化：距离、斜率、截距都有几何意义，先翻译再借“圆心 ± r”求范围。 【步骤】① 识别目标量的几何意义；② 转化为圆心到点/直线的距离加减 ；③ 数形结合求最值。 【易错】圆上点到直线距离的最值是 ；若 （直线与圆相交），最小值是 而不是 。 53．已知实数满足圆的方程，则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题设表示圆上的点到定点的距离， 而圆的圆心为，半径为2， 所以的最大值为. 故答案为： 54．已知圆过点，则圆心到原点距离的最小值为（　　） A．　　B．　　C．1　　D． 【答案】D 【详解】设圆心,由得，化简得，即圆心在直线运动，圆心到原点距离的最小值即原点到直线的距离，故最小值为， 故选：D 55．（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（　　） A．圆上有两个点到直线的距离为2　　 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C．　　 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】BC 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径， 对于AB，圆心到直线的距离， 则，故A错误，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由切线的性质，得切线长为，D错误. 故选：BC 56．（多选）点在圆上，点在圆上，为圆则下列结论中正确的是（　　） A．圆心距　　B．的最小值为2 C．的最大值为9　　D．圆经过点的最短弦的长为4 【答案】ACD 【详解】由题意可知：圆，其圆心，半径， 圆 ，其圆心，半径， 对于选项ABC：圆心距，故A正确；的最小值为，故B错误；的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为， 可知点M在圆内，当圆经过点M的弦与垂直时，弦长取最小值， 最小值为，故D正确. 故选：ACD. 拔高·压轴突破 题型1 与圆有关的轨迹方程（共4小题） 【模型】轨迹三法：直接法设点列式、定义法辨曲线、相关点法用已知轨迹带动。 【步骤】① 设动点坐标；② 把几何条件翻译成等式；③ 化简成标准方程并检验（剔除不合条件的点）。 【易错】求出轨迹方程后必须“去杂”——不满足原几何条件的点（如端点、重合点）要剔除并写清范围。 57．已知圆和圆，动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M点的轨迹方程是_______． 【答案】 【详解】由题可得圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 设动圆M的半径为， 因为动圆M与圆C1内切，则由题可知圆M在圆内部，所以， 因为动圆M与圆C2外切，所以， 则， 所以圆心M点的轨迹是以为焦点的椭圆，即，则， 所以圆心M点的轨迹方程是. 故答案为：. 58．(25-26高二上·辽宁沈阳市东北育才学校·期中)（多选）在平面直角坐标系Oxy中，动点P在直线上的射影为点Q，且，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（　　） A．曲线C关于原点O对称　　B．点Q的轨迹长度大于2 C．　　D．曲线C围成的封闭区域的面积大于2 【答案】AC 【详解】设，则．由， 得，故点的轨迹方程为（※）， 对于A, 关于原点的对称点为，则也满足方程（※）， 故C关于坐标原点对称，A正确． 对于C,由于，结合，所以，故，C正确， 对于B，当点位于直线上时，此时长度最大，且或，且这两点间距离为2，此时与重合， 当点不在直线上时，此时长度不为零，且长度不为零，所以 因此点的轨迹为直线上点和点之间线段的一部分，长度小于2，故B错误， 对于D，由于，当且仅当取等号， 故，进而， 故，同理可得， 由于和围成的矩形面积为， 而曲线位于该矩形内，所以曲线围成的封闭区域的面积小于2，故D错误. 故选：AC 59．(25-26高二上·辽宁沈阳市五校协作体·期中)在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为_______． 【答案】 【详解】设，是线段上靠近的三等分点，则，，为关于轴的对称点．则， 所以若，则，即； 则点的轨迹方程为：； 故答案为： 60．（多选）在平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（　　） A．曲线围成的图形有4条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上任意两点间的距离最大值是 D．若是曲线上任意一点，则的最小值是 【答案】ACD 【详解】当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B，曲线由4个半圆组成，其周长为，故B错误； 对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于D，到直线的距离， 点到直线的距离为， 由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 题型2 定值与定点问题（共3小题） 【模型】定值套路：设参数 → 表达目标量 → 化简到与参数无关。 【步骤】① 设直线（或点的）参数；② 用韦达定理或几何量表示目标；③ 化简后与参数无关即得定值。 【易错】联立消元后要交代判别式大于零，以及所设直线不与坐标轴垂直等前提，否则扣步骤分。 61．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（　　） A．　　B．10　　C．　　D．5 【答案】A 【详解】圆的方程可化为，则 ， 因为， 故点在圆内， 过点的最长弦一定是圆的直径，当时，最短， 此时， 则， 故选：A． 62．(25-26高二上·辽宁大连市第二十四中学·期中)（多选）已知过点的直线与圆交于A，B两点，为坐标原点，则（　　） A．的最大值为4　 　B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为　 　D．的面积为3 【答案】ACD 【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为， 因为，所以点在圆内部， 因为过点的直线与圆交于两点， 所以的最大值为，所以A正确； 因为， 当直线与垂直时，此时弦取得最小值， 最小值为，所以B错误； 当直线与垂直时，点到直线的距离有最大值， 且最大值为，所以C正确； 由，可得，即， 所以的面积为，所以D正确. 故选：ACD. 63．已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】直线l：，即，所以直线过定点，，圆半径， 点在圆内，所以当直线与垂直的时候，最短， 此时． 故选：C． 题型3 多选综合（共5小题） 【模型】多选逐项破：每个选项就是一道独立小题，定义、公式、反例轮着用。 【步骤】① 把每个选项转成小问题；② 用定义或公式逐项验证；③ 举反例排除错误选项。 【易错】多选题“宁少选勿错选”——拿不准的选项先用特殊值、特殊位置试探。 64．（多选）已知圆，则下列说法正确的是（　　） A．圆C的半径为18 B．圆C截x轴所得的弦长为 C．圆C与圆相外切 D．若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是 【答案】BC 【详解】A：将一般式配方可得：，A错； B：圆心到x轴的距离为2，弦长为，B对； C：由题意，，所以圆C与圆外切，C对； D： 圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，d表示圆心与直线的距离，，则，解之: ，D错； 故选：BC. 65．（多选）已知方程，则下列说法正确的是（　　） A．当时，表示圆心为的圆　　B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为　　 D．当时，表示圆的圆心到轴距离等于半径 【答案】BCD 【详解】方程即， 当时，即，表示点，A错误； 当时，，表示圆心为的圆，B正确； 当时，表示的圆的半径为，C正确； 当时，表示圆，半径为2，圆心到轴距离等于半径，D正确， 故选：. 66．（多选）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（　　） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则或 D．若圆和圆内切，则 【答案】BCD 【详解】圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径. 对于A，当时，，因为，故两圆相交，故A错误； 对于B，当时，两圆相交，公共弦所在直线方程为：，即，故B正确； 对于C，由两圆外切，得，故C正确； 对于D，由，故D正确. 故选：BCD. 67．（多选）对于直线，下列说法正确的有（　　） A．直线在y轴上的截距为1　 　B．直线l与直线垂直 C．直线l的一个方向向量为　　D．原点到直线的距离为1 【答案】BC 【详解】对于A，直线显然经过点，所以直线在轴上的截距为，故A错误； 对于B，由可得，直线的斜率为，而直线的斜率为1， 故直线与直线互相垂直，故B正确； 对于C，若直线的一个方向向量为，则其斜率应该是，故C正确； 对于D，由原点到直线的距离为，故D错误. 故选：BC 68．(24-25高二上·辽宁抚顺市四方高级中学·期中)（多选）已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【答案】BD 【详解】圆C：的标准方程为所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误；，，因为M是圆C上任一点， 所以的取值范围为，即，故D正确； 故选：BD 题型4 新定义与折叠问题（共3小题） 【模型】新定义先“翻译”：把陌生定义化成熟悉的几何语言，再套直线与圆的方法。 【步骤】① 读懂定义，写出对应的方程或不等式；② 折叠问题抓“对称不变量”，折痕即对称轴；③ 转化为标准圆的问题求解。 【易错】折叠前后不变的量是长度（如 、 折前折后相等），抓不变量列方程是关键。 69．(25-26高二上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)在平面直角坐标系中，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，则的最小值为（　　） A．4　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】由折痕的性质，折痕为对应点连线的垂直平分线， 故圆心是折痕方程与的交点. 解方程组，得，，即圆心. 点在圆上，故圆的半径， 圆的方程为. 因为，、，所以点在以为直径的圆上， 该圆方程为，圆心为，半径为. 两圆的圆心距，由两圆有公共点，得. 解得，即，故的最小值为. 故选：D 70．(25-26高二上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)（多选）在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（　　） A．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形　　B．曲线围成图形的面积为 C．曲线的周长为　　D．曲线上任意两点间距离的最大值8 【答案】ACD 【详解】当时方程为；当时方程为； 当时方程为；当时方程为， 对于A，在方程中，用换或用换该方程均不变， 因此曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称，A正确； 对于B，曲线交轴正半轴于，曲线在第一象限部分图形是以为圆心，为半径，所对的圆心角为的，圆心到轴的距离， 因此曲线在第一象限围成图形面积， 由对称性得总面积为，B错误； 对于C，由选项B得，的长度为，由对称性得曲线的周长为，C正确； 对于D，曲线交轴负半轴于，曲线上任意两点间距离的最大值为，D正确. 故选：ACD 71．(25-26高二上·辽宁大连市第八中学·期中)（多选）已知曲线，则下列结论正确的是（　　） A．曲线关于轴、轴和原点对称 B．当时，曲线围成的区域内（含边界）共含有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．当时，曲线围成的区域面积大于 D．当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是 【答案】AC 【详解】对于A：将换为，方程变为，与原方程一致， 故曲线关于轴对称； 将换为，方程变为，与原方程一致， 故曲线关于轴对称； 将换为，且将换为，方程变为，与原方程一致， 故曲线关于原点对称，故A正确； 对于B：当时，曲线方程为，区域内的整点满足. 由，解得， 当时，满足的整数值为，对应整点为， 当时，满足的整数值为，对应整点为， 当时，满足的整数值为，对应整点为， 所以曲线围成的区域内（含边界）共含有个整点，B错误； 对于C：当时，曲线方程为，我们将其与圆（面积为）比较， 由得，所以， 对于，，所以，即曲线围成的区域包含圆围成的区域， 同时，曲线在时与圆一致；在时也与圆一致，但中间部分更“宽”， 因此其面积大于，C正确； 对于D：当时，曲线方程为，因为曲线关于轴、轴和原点对称， 所以距离取得最大值的两点必对称. 当两点关于原点对称时，设一点为，则其对称点为， 两点距离，最大值为， 故D错误； 故选：AC. 题型5 直线与圆的实际应用（共2小题） 【模型】实际应用三步：建系 → 条件坐标化 → 圆模型求最值，最后回到实际意义作答。 【步骤】① 建立坐标系，设出关键点与圆；② 把实际条件写成方程或不等式；③ 求解并检验实际意义（面积最大、成本最低）。 【易错】实际问题最后必须回答“实际问什么”（最大面积、最优方案），只给数学结果是半截答案。 72．老杨根据风俗观念要在一块半径为的半圆形祖传宝地上截取一矩形地块建房子，要使截得的矩形地块面积最大，最大面积是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】如图，设在半圆地块上截得的矩形地块所在的矩形为， 不妨设在半圆的直径上，且的中点为圆心O，在半圆上， 设，，， 则矩形的面积为， 当且仅当时，取等号， 则矩形地块面积最大值为. 故选：C. 73．(24-25高二上·辽宁抚顺市四方高级中学·期中)阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，显然直线l与圆C相离，令点D到直线l的距离为d， 由圆的性质得：，解得，， 所以C的长度为. 故选：B 题型6 解答题综合（共4小题） 【模型】解答题两段式：第(1)问待定系数求圆或直线，第(2)问几何法处理弦长与切线。 【步骤】① 待定系数法求圆（设标准式或一般式）；② 设直线方程时先讨论斜率不存在；③ 用 、 等几何条件列式；④ 分类讨论后汇总作答。 【易错】设点斜式之前，先检验斜率不存在的直线能否满足条件——漏掉它是最常见的丢分点。 74．已知圆经过两点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程.(2)已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点.①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1)(2)①设直线. 由整理得， 则， 故. 因为， 所以. 把代入上式， 得. ②点在定直线上，理由如下： 直线的方程为，直线的方程为. 由得. 因为，所以， 所以， 即，则，即点在定直线上. 【详解】（1）设圆心的坐标为. 因为是圆上的两点，所以，所以即，解得. 因为圆心在直线上，所以，解得， 则圆的半径， 故圆的标准方程为. （2）①略 ②略 75．已知圆的圆心为，且过点．(1)求过点的圆的切线方程；(2)若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1)或(2)或 【详解】（1）， 所以圆的方程为：，， 所以点在圆外， 当不存在时，直线方程为与圆相切， 当存在时，设切线方程为：，即， 则圆心到直线的距离， 可得，解得， 所以切线方程为，即， 综上：过点的圆的切线方程为或. （2）显然，直线斜率存在， 所以设直线的方程为：，即， 设圆心到直线的距离为， 又， 化简得，即， 所以或7， 所以直线的方程为：或. 76．已知圆过点，且圆心在直线上.(1)求圆的方程;(2)若直线过点且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）设圆心，由得： ， 解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与圆相切，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 77．已知圆经过两点，圆心在直线上.(1)求出这个圆的标准方程；(2)当点到直线的距离最大时，求的值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设圆的圆心为，圆的一般方程为， 由方程可知， 由条件在直线上， 两点在圆上， 联立方程组，解得， ，为所求的圆的标准方程. （2）直线化为，直线经过定点， 当与直线垂直时，距离最大，， 故直线斜率为， 解得. $专题02 直线与圆 基础·固本强基 题型1 直线的倾斜角与斜率（重点） 题型2 直线方程的求法（重点） 题型3 两直线的位置关系（重点） 题型4 三种距离公式（重点） 题型5 圆的方程（重点） 题型6 点、直线与圆的位置关系（重点） 提升·融会贯通 题型1 直线与圆相交——弦长问题（重点） 题型2 圆的切线问题 题型3 圆与圆的位置关系 题型4 直线过定点问题（重点） 题型5 对称问题 题型6 与圆有关的最值问题（重点） 拔高·压轴突破 题型1 与圆有关的轨迹方程（难点） 题型2 定值与定点问题（难点） 题型3 多选综合 题型4 新定义与折叠问题（重难点） 题型5 直线与圆的实际应用（难点） 题型6 解答题综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 直线的倾斜角与斜率（共6小题） 【模型】斜率 （）——先看倾斜角是不是 ，再谈斜率。 【步骤】① 由直线方程化斜截式求 ，或由两点求 ；② 由 的取值借助正切图象定倾斜角范围；③ 别忘 不存在（）的特例。 【易错】倾斜角范围是 ； 时角在 ， 时在 ， 时角为 ——由 的符号定角范围时，把“ 无斜率”单独拎出来。 1．直线的斜率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．直线的斜率（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．已知直线的方程为，则该直线的斜率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．(25-26高二上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)若斜率为的直线l经过点，则l与两坐标轴围成的三角形面积为（　　） A．8　　B．16　　C．32　　D．64 题型2 直线方程的求法（共6小题） 【模型】选式而列——点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，按已知条件选最顺手的，最后统一化成一般式。 【步骤】① 找“点 + 斜率”或“两点”；② 代入对应形式；③ 检验特殊情况（斜率不存在、截距为 ）；④ 化为一般式收尾。 【易错】截距式要求截距非零；“在两坐标轴上截距相等”要分“相等”与“互为相反数”两类，且都要考虑过原点的直线。 7．直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______． 8．直线在轴上的截距为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（　　） A．　　 B．　　 C．或　　 D．或 10．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程为________ 11．过点且与直线垂直的直线的一般式方程为___________. 12．(25-26高二上·辽宁辽西重点高中·期中)若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的值为（　　） A．　　B．1　　C．　　D．7 题型3 两直线的位置关系（共5小题） 【模型】平行看 且不重合，垂直看 ——用一般式系数最稳。 【步骤】① 化为一般式，用系数关系判断；② 判平行时排除重合；③ 含参数时对“斜率存在/不存在”分类讨论。 【易错】用 判垂直的前提是两直线斜率都存在；判平行别忘排除重合——先平行条件、再验截距。 13．已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 14．（多选）已知直线，则下列判断正确的是（　　） A．在轴上的截距为3　　B．若，则 C．若，则　　D．若相交于一点，则 15．(25-26高二上·辽宁锦州市渤海大学附属高级中学·期中)（多选）设，直线的方程为，则（　　） A．直线过定点　　B．若直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为 C．直线与圆相交　　D．点到直线的最大距离为 16．已知直线，则下列结论正确的个数是（    ）①直线的截距为②向量是直线的一个法向量③过点与直线平行的直线方程为④若直线，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 17．（多选）以下四个命题叙述正确的是（　　） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线：，：，若，则 题型4 三种距离公式（共5小题） 【模型】两板斧：两点距、点线距 、平行线间 。 【步骤】① 分清求哪一种距离；② 点线距先把方程化为一般式再代公式；③ 与最值结合时抓“垂线段最短”。 【易错】平行线间距离公式要求 、 系数完全相同——先乘除统一系数再代公式。 18．已知直线l经过2x＋y－5=0与x－2y=0的交点，则点A(5,0)到l的距离的最大值为________． 19．(24-25高二上·辽宁抚顺市四方高级中学·期中)圆的圆心到直线的距离为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 20．已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（    ）.（　　） A．　　B．　　C．　　D． 21．(25-26高二上·辽宁实验中学·期中)已知直线，当k变化时，点到直线l的距离的取值范围是______. 22．(25-26高二上·辽宁沈阳市东北育才学校·期中)点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（λ为任意实数）的距离的最大值为（　　） A．　　B．6　　C．　　D．5 题型5 圆的方程（共5小题） 【模型】标准式 直接读圆心半径；一般式 需 。 【步骤】① 选标准式或一般式待定系数；② 用“圆心在某直线上”“过某两点”列方程；③ 解出后回代检验。 【易错】一般式表示圆必须满足 ，求参数范围时别漏；配方时 、 要除以 2 的符号易错。 23．圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（　　） A．　　B．　　 C．　　D． 24．圆心为，半径是3的圆的标准方程为（　　） A．　　B． C．　　D． 25．圆的圆心坐标和半径分别是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 26．(25-26高二上·辽宁七校协作体·期中)圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（　　） A．　　B．　　 C．　　D． 27．(25-26高二上·辽宁大连市第八中学·期中)已知一个圆与轴相切，其圆心在射线上，且被直线截得弦长为，则此圆的方程为___________. 题型6 点、直线与圆的位置关系（共3小题） 【模型】点看距离与 比大小；直线与圆看 与 ： 相离、 相切、 相交。 【步骤】① 化圆为标准式得圆心与半径；② 求圆心到直线的距离 ；③ 与 比较下结论。 【易错】判位置关系优先用几何法（比 与 ），比联立方程组讨论交点个数快且不易出错。 28．已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（　　） A．相离　　B．相切　　C．相交　　D．与的取值有关 29．若直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 30．（多选）已知直线，则（　　） A．的倾斜角为　　　B．在轴上的截距为 C．原点到的距离为1　　D．与坐标轴围成的三角形的面积为2 提升·融会贯通 题型1 直线与圆相交——弦长问题（共5小题） 【模型】垂径定理半日通：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，。 【步骤】① 求圆心与半径；② 求弦心距 ；③ 代弦长公式；④ 含参数时由弦长反解参数。 【易错】弦长是 ，别丢因子 2；设点斜式前先检验斜率不存在的竖直线是否也满足条件。 31．直线被圆截得的弦长为________. 32．若直线被圆截得的弦长为，则（　　） A．　　B．　　C．2　　D． 33．直线截圆所得的弦长为（　　） A．4　　B．　　C．　　D． 34．在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（　　） A．或　　B．－1或－6　　C．或　　D．－2或－7 35．（多选）已知直线与圆相交于两点，则（　　） A．圆心的坐标为　　B．圆的半径为　　C．圆心到直线的距离为　　D． 题型2 圆的切线问题（共5小题） 【模型】切线的本质：圆心到切线距离等于半径；切线长 。 【步骤】① 点在圆上——过该点仅一条切线，用“半径⊥切线”求；② 点在圆外——设斜率用 解，并单独讨论斜率不存在；③ 求切线长直接用公式。 【易错】过圆外一点作圆的切线有两条——设斜率只能解出一条时，另一条就是斜率不存在的竖直线，别漏。 36．(25-26高二上·辽宁朝阳市朝阳联盟·期中)过点与圆相切的直线方程为__________. 37．过点作圆的切线，切点为，则______. 38．设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为_____________. 39．(25-26高二上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)（多选）已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（　　） A．若P的坐标为，则PM，PN的方程为和 B．线段PM的长度的最小值为 C．四边形PMCN的面积的最小值为 D．直线MN过定点 40．已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 题型3 圆与圆的位置关系（共5小题） 【模型】五类位置关系全由圆心距 与 、 的大小决定。 【步骤】① 化标准式得两圆圆心与半径；② 计算圆心距 ；③ 与两半径和、差比较定关系。 【易错】相交 ，两个不等式缺一不可；公切线条数与位置关系一一对应，别凭感觉。 41．圆与圆的公切线有且仅有（　　） A．4条　　B．3条　　C．2条　　D．1条 42．两圆和的位置关系是（　　） A．外离　　B．相交　　C．内切　　D．外切 43．(25-26高二上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)已知圆和圆，则（　　） A．圆与圆相切　　B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3　　D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 44．（多选）若圆与圆有且仅有一条公切线，则的值可能为（　　） A．1　　B．121　　C．36　　D．126 45．已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（　　） A．3　　B．　　C．　　D．2 题型4 直线过定点问题（共3小题） 【模型】直线系过定点：把含参方程整理为“参数 × (某式) + (某式) = 0”，令两个括号同时为零。 【步骤】① 按参数整理直线方程；② 令参数系数为零；③ 解出定点坐标；④ 代回原方程验证。 【易错】定点要代回检验在题目条件（如“直线与圆相交”）允许的范围内，别只解出坐标就收工。 46．（多选）已知直线，圆，则（　　） A．直线过定点　　B．圆的半径是1 C．存在一个实数，使得直线经过圆的圆心　　D．无论取何值，直线与圆相交 47．（多选）已知圆C：，直线l：，则（　　） A．直线l恒过定点　　B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．直线l被圆C截得的最小弦长为　　D．圆C与圆外切 48．(25-26高二上·辽宁大连王府高级中学·期中)（多选）已知圆：，直线：（），则（　　） A．直线恒过定点　　 B．直线与圆有两个交点 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1　　 D．圆上的点到直线的最大距离是 题型5 对称问题（共4小题） 【模型】点关于直线对称：垂足是中点、连线与直线垂直，两个条件两个方程。 【步骤】① 设对称点坐标；② 列“中点在对称轴上”与“连线垂直于对称轴”两个方程；③ 解方程组；④ 直线关于直线对称可取两个特殊点分别转化。 【易错】圆关于直线对称——圆心落在对称轴上、半径不变，只需对称圆心，别去逐个对称圆上的点。 49．已知直线，若直线与关于对称，则的方程为______． 50．(25-26高二上·辽宁辽西重点高中·期中)直线 关于直线 对称的直线的方程是________. 51．若直线关于直线对称的直线经过点，则（　　） A．　　B．1　　C．　　D． 52．圆关于直线对称，则的最小值是______． 题型6 与圆有关的最值问题（共4小题） 【模型】代数最值几何化：距离、斜率、截距都有几何意义，先翻译再借“圆心 ± r”求范围。 【步骤】① 识别目标量的几何意义；② 转化为圆心到点/直线的距离加减 ；③ 数形结合求最值。 【易错】圆上点到直线距离的最值是 ；若 （直线与圆相交），最小值是 而不是 。 53．已知实数满足圆的方程，则的最大值为___________． 54．已知圆过点，则圆心到原点距离的最小值为（　　） A．　　B．　　C．1　　D． 55．（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（　　） A．圆上有两个点到直线的距离为2　　B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C．　 　D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 56．（多选）点在圆上，点在圆上，为圆则下列结论中正确的是（　　） A．圆心距　 　B．的最小值为2 C．的最大值为9　　 D．圆经过点的最短弦的长为4 拔高·压轴突破 题型1 与圆有关的轨迹方程（共4小题） 【模型】轨迹三法：直接法设点列式、定义法辨曲线、相关点法用已知轨迹带动。 【步骤】① 设动点坐标；② 把几何条件翻译成等式；③ 化简成标准方程并检验（剔除不合条件的点）。 【易错】求出轨迹方程后必须“去杂”——不满足原几何条件的点（如端点、重合点）要剔除并写清范围。 57．已知圆和圆，动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M点的轨迹方程是_______． 58．(25-26高二上·辽宁沈阳市东北育才学校·期中)（多选）在平面直角坐标系Oxy中，动点P在直线上的射影为点Q，且，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（　　） A．曲线C关于原点O对称　　B．点Q的轨迹长度大于2 C．　　D．曲线C围成的封闭区域的面积大于2 59．(25-26高二上·辽宁沈阳市五校协作体·期中)在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为_______． 60．（多选）在平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（　　） A．曲线围成的图形有4条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上任意两点间的距离最大值是 D．若是曲线上任意一点，则的最小值是 题型2 定值与定点问题（共3小题） 【模型】定值套路：设参数 → 表达目标量 → 化简到与参数无关。 【步骤】① 设直线（或点的）参数；② 用韦达定理或几何量表示目标；③ 化简后与参数无关即得定值。 【易错】联立消元后要交代判别式大于零，以及所设直线不与坐标轴垂直等前提，否则扣步骤分。 61．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（　　） A．　　B．10　　C．　　D．5 62．(25-26高二上·辽宁大连市第二十四中学·期中)（多选）已知过点的直线与圆交于A，B两点，为坐标原点，则（　　） A．的最大值为4　　 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为　 　D．的面积为3 63．已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（　　） A．　　B．　　C．　　D． 题型3 多选综合（共5小题） 【模型】多选逐项破：每个选项就是一道独立小题，定义、公式、反例轮着用。 【步骤】① 把每个选项转成小问题；② 用定义或公式逐项验证；③ 举反例排除错误选项。 【易错】多选题“宁少选勿错选”——拿不准的选项先用特殊值、特殊位置试探。 64．（多选）已知圆，则下列说法正确的是（　　） A．圆C的半径为18 B．圆C截x轴所得的弦长为 C．圆C与圆相外切 D．若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是 65．（多选）已知方程，则下列说法正确的是（　　） A．当时，表示圆心为的圆　　B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为　　 D．当时，表示圆的圆心到轴距离等于半径 66．（多选）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（　　） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则或 D．若圆和圆内切，则 67．（多选）对于直线，下列说法正确的有（　　） A．直线在y轴上的截距为1　　 B．直线l与直线垂直 C．直线l的一个方向向量为　　D．原点到直线的距离为1 68．(24-25高二上·辽宁抚顺市四方高级中学·期中)（多选）已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 题型4 新定义与折叠问题（共3小题） 【模型】新定义先“翻译”：把陌生定义化成熟悉的几何语言，再套直线与圆的方法。 【步骤】① 读懂定义，写出对应的方程或不等式；② 折叠问题抓“对称不变量”，折痕即对称轴；③ 转化为标准圆的问题求解。 【易错】折叠前后不变的量是长度（如 、 折前折后相等），抓不变量列方程是关键。 69．(25-26高二上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)在平面直角坐标系中，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，则的最小值为（　　） A．4　　B．　　C．　　D． 70．(25-26高二上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)（多选）在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（　　） A．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形　　B．曲线围成图形的面积为 C．曲线的周长为　　 D．曲线上任意两点间距离的最大值8 71．(25-26高二上·辽宁大连市第八中学·期中)（多选）已知曲线，则下列结论正确的是（　　） A．曲线关于轴、轴和原点对称 B．当时，曲线围成的区域内（含边界）共含有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．当时，曲线围成的区域面积大于 D．当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是 题型5 直线与圆的实际应用（共2小题） 【模型】实际应用三步：建系 → 条件坐标化 → 圆模型求最值，最后回到实际意义作答。 【步骤】① 建立坐标系，设出关键点与圆；② 把实际条件写成方程或不等式；③ 求解并检验实际意义（面积最大、成本最低）。 【易错】实际问题最后必须回答“实际问什么”（最大面积、最优方案），只给数学结果是半截答案。 72．老杨根据风俗观念要在一块半径为的半圆形祖传宝地上截取一矩形地块建房子，要使截得的矩形地块面积最大，最大面积是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 73．(24-25高二上·辽宁抚顺市四方高级中学·期中)阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 题型6 解答题综合（共4小题） 【模型】解答题两段式：第(1)问待定系数求圆或直线，第(2)问几何法处理弦长与切线。 【步骤】① 待定系数法求圆（设标准式或一般式）；② 设直线方程时先讨论斜率不存在；③ 用 、 等几何条件列式；④ 分类讨论后汇总作答。 【易错】设点斜式之前，先检验斜率不存在的直线能否满足条件——漏掉它是最常见的丢分点。 74．已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 75．已知圆的圆心为，且过点． (1)求过点的圆的切线方程； (2)若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程． 76．已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程; (2)若直线过点且与圆相切，求直线的方程. 77．已知圆经过两点，圆心在直线上. (1)求出这个圆的标准方程； (2)当点到直线的距离最大时，求的值. $