5.4 统计与概率的应用-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（人教B版）

5.4　统计与概率的应用

学习目标

1.通过实例进一步了解统计与概率的意义及应用.

2.能用统计和概率的知识来解决日常生活中的相关问题,提升分析问题与解决问题的核心素养.

3.通过对实际问题的解决来提升数学建模与数据分析的核心素养.

1.统计与概率的应用范围

所谓统计与概率的应用,就是把实际问题转化为和统计与概率有关的问题,并用统计与概率的知识来分析问题和解决问题.统计与概率的应用非常广泛,涉及生活中的方方面面.

2.用样本估计总体

(1)为了估计某一个总体中元素的个数N,我们可以运用以下方法:先从总体中抽出一个容量为n1的样本,并把每一个元素标上记号,然后把这n1个元素再放回原来的总体中去.隔一段时间后,我们再从总体中抽出一个容量为n2的样本,并从中查出标有记号的元素的个数为m.根据上面的有关数据我们就可以来估计总体中元素的个数N.

(2)百分位数在具体数据中的应用.

3.社会调查

社会调查人员希望从人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题诚实的回答,但是被采访者常常不愿意如实地作出应答.应用概率知识可以消除这种不愿意情绪,从而得到较准确的结果.

4.游戏的公平性

判断一个游戏是否公平,通常从参加游戏的人获胜的概率方面进行考虑,如果每个人获胜的概率相同,那么这个游戏就是公平的,否则,这个游戏就是不公平的.

5.遗传机理中的统计规律

概率知识在科学发展中起着非常重要的作用,奥地利遗传学家孟德尔在利用杂交豌豆所做的试验中,得到显性与隐性的比例接近3∶1,分析找出了遗传规律,成为遗传学的奠基人.可见,利用统计与概率知识,对数据加以分析,有时可以得到意想不到的结论.

　百分位数在具体数据中的应用

[例1] 有一样本的数据为3 310,3 355,3 450,3 480,3 490,3 520,

3 540,3 550,3 650,3 730,3 925,求这组数据的50%分位数和75%分位数.

解:(1)因为i=50%×11=5.5,

所以50%分位数是第6项的值,即3 520.

(2)因为i=0.75×11==8.25,

所以75%分位数是第9项的值,即3 650.

综上,这组数据的50%分位数和75%分位数分别为3 520,3 650.

计算一组n个数据的p%分位数的步骤

第1步,按从小到大的顺序排列原始数据.

第2步,计算i=n·p%.

第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则p%分位数为第j项数据;若i是整数,则p%分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.

针对训练:某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来,每次数学考试成绩情况如下

甲:95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107;

乙:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.

分别计算出学生甲、乙的25%,50%分位数.

解:把甲、乙两名学生的数学成绩从小到大排序,可得

甲:65,71,75,76,81,86,88,89,91,94,95,107,110;

乙:78,79,83,86,88,93,98,98,99,101,103,106,114.

由13×25%=3.25,13×50%=6.5,

可得数据的25%,50%分位数分别为第4,第7项数据,

即学生甲的25%,50%分位数分别为76,88,

学生乙的25%,50%分位数分别为86,98.

　利用概率估计总数