第4章 幂函数、指数函数和对数函数 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

章末总结 题型一　指数与对数运算 [例1] (1)化简:÷(1-2 )×; (2)求值:lg 14-2lg+lg 7-lg 18. 解:(1)原式=××=××=a. (2)法一　原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2)=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0. 法二　原式=lg 14-lg()2+lg 7-lg 18 =lg =lg 1=0. (1)指数与对数的运算应遵循的原则 ①指数式的运算:注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算.另外,若出现分式,则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的. ②对数式的运算:注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,一般本着真数化简的原则进行. (2)底数相同的对数式化简的两种基本方法 ①“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数. ②“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差). [跟踪训练1] 化简:(×(÷. 解:原式=(×(1÷1 =2-1×103×1 =2-1×1 =. 题型二　幂函数、指数函数、对数函数的图象问题 [例2] (1)已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是(　　) (2)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(　　) A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} (3)幂函数的图象过点(2,),则它的单调递增区间是(　　) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,+∞) 解析:(1)函数y=log2x的反函数为y=2x,故f(x)=2x,于是f(1-x)=21-x=()x-1,此函数在R上单调递减,其图象过点(0,2),所以选项C中的图象符合要求.故选C. (2)借助函数的图象求解该不等式. 作出函数y=log2(x+1)的图象如图. 由 得 所以结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}.故选C. (3)设幂函数y=xα,则2α=, 解得α=-2, 所以y=x-2, 故函数y=x-2的单调递增区间是(-∞,0).故选C. 函数图象的画法 画法 应用范围 画法技巧 基本 函数法 基本初等函数 利用一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的有关知识,画出特殊点(线),直接根据函数的图象特征作出图象 变换法 与基本初等函数有关联的函数 弄清所给函数与基本初等函数的关系,恰当选择平移、对称等变换方法,由基本初等函数图象变换得到函数图象 描点法 未知函数或较复杂的函数 列表、描点、连线 [跟踪训练2] (1)函数y=2log4(1-x)的图象大致是(　　) (2)方程log2(x+2)=的实数解有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析:(1)法一　当x=0时,y=0,故可排除选项A,由1-x>0,得x<1,即函数的定义域为(-∞,1),排除选项B,又易知函数在其定义域上是减函数.故选C. 法二　函数y=2log4(1-x)的图象可认为是由 y=log4x的图象经过如下步骤变换得到的:①函数y=log4x的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到函数y=2log4x的图象;②把函数y=2log4x的图象关于y轴对称得到函数y=2log4(-x)的图象;③把函数y=2log4(-x)的图象向右平移1个单位长度,即可得到y=2log4(1-x)的图象.故选C. (2)令y1=log2(x+2),y2=,分别画出两个函数的图象,如图所示. 函数y1=log2(x+2)的图象是由函数y=log2x的图象向左平移2个单位长度得到的.函数y2=的图象是由幂函数y=的图象关于y轴对称得到的.由图象可知,显然y1与y2有一个交点.故选B. 题型三　比较大小问题 [例3] (1)设a=lo3,b=()0.2,c=,则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c (2)(2022·浙江杭州高一期末)若2x-2y<3-x-3-y,则(　　) A.y2>x2 B.<1 C.lg(y-x)>0 D.()y<2-x 解析:(1)a=lo3<0,0<b=()0.2<1,c=>1,故有a<b<c.故选A. (2)令f(x)=2x-3-x,根据指数函数的性质,可得y=2x单调递增,y=3-x单调递减, 因此f(x)=2x-3-x在R上单调递增; 又2x-2y<3-x-3-y可化为2x-3-x<2y-3-y, 即f(x)<f(y),所以x<y, 当x=-2,y=1时,y2<x2,故A错; 当x=-2,y=-1时,=2>1,