第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

章末总结 题型一　数或式比较大小问题 [例1] 已知a<b<c,试比较a2b+b2c+c2a与ab2+bc2+ca2的大小. 解:a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2) =(a2b-ab2)+(b2c-bc2)+(c2a-ca2) =ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) =ab(a-b)+bc[(b-a)+(a-c)]+ca(c-a) =ab(a-b)+bc(b-a)+bc(a-c)+ca(c-a) =b(a-b)(a-c)+c(a-c)(b-a) =(a-b)(a-c)(b-c). 因为a<b<c, 所以a-b<0,a-c<0,b-c<0, 所以(a-b)(a-c)(b-c)<0. 所以a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2. 数或式比较大小的方法 (1)作差或作商比较法. (2)找中间量来比较, 往往找1或0. (3)特值法,对相关的式子赋值计算得出结果. (4)数形结合法,画出相应的图形, 直观比较大小. [跟踪训练1] 已知a>0,b>0,且a≠b,比较+与a+b的大小. 解:因为(+)-(a+b) =-b+-a=+ =(a2-b2)(-) =(a2-b2) =, 因为a>0,b>0,且a≠b, 所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0, 所以(+)-(a+b)>0,即+>a+b. 题型二　不等式的性质及应用 [例2] (1)(多选题)(2022·江苏连云港期中)若a>b>0,则(　　) A.ac2≥bc2 B.a2<ab<b2 C.< D.> (2)(多选题)已知a,b,c,d是实数,则下列一定正确的有(　　) A.a2+b2≥ B.a+≥2 C.若>,则a<b D.若a<b<0,c<d<0,则ac>bd 解析:(1)因为a>b>0,所以ac2-bc2=(a-b)c2≥0,即ac2≥bc2,故选项A正确; 又a2-ab=a(a-b)>0,所以a2>ab,故选项B错误;因为a>b>0,所以a+b>2, 所以<=,故选项C正确; 又-=<0,所以<,故选项D错误. 故选AC. (2)由于2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab=(a-b)2≥0, 所以a2+b2≥(a+b)2,故A正确; B中,当a=-1时显然不成立,B错误; C中,a=1,b=-1显然有>,但a>b,C错误; D中,若a<b<0,c<d<0,则-a>-b>0, -c>-d>0,则根据不等式的性质可知ac>bd>0,故D正确.故选AD. 应用时容易出错的不等式的性质 (1)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.若a>b,c>d,则a+c>b+d,若a>b,c<d,则a-c>b-d;但异向不等式不可以相加,同向不等式不可以相减. (2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘.若a>b>0,c>d>0,则ac>bd;若a>b>0,0<c<d,则>. (3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方.若a>b>0,则an>bn或>(n>1,且n∈N+). (4)若ab>0,a>b,则<,若ab<0,a>b,则>. [跟踪训练2] (1)(多选题)如果a,b,c满足c<b<a且ac<0,那么下列选项中一定成立的是(　　) A.ab>ac B.c(b-a)>0 C.cb2<ab2 D.ac(a-c)<0 (2)已知2<a<3,-2<b<-1,则t=ab的取值范围是　　　　　　,s=的取值范围是　.  解析:(1)因为c<a,且ac<0, 所以c<0,a>0. 选项A成立,因为c<b,所以ac<ab,即ab>ac. 选项B成立,因为b<a,b-a<0, 所以c(b-a)>0. 选项C不一定成立,当b=0时,cb2<ab2不成立. 选项D成立,因为c<a, 所以a-c>0,所以ac(a-c)<0.故选ABD. (2)因为-2<b<-1,所以1<-b<2. 又因为2<a<3, 所以2<-ab<6,所以-6<ab<-2. 因为-2<b<-1,所以1<b2<4. 因为2<a<3,所以<<,所以<<2. 答案:(1)ABD　(2){t|-6<t<-2}　{s|<s<2} 题型三　利用基本不等式求最值问题 [例3] (1)若a,b,c均为正实数,则的最大值为(　　) A. B. C. D. (2)(多选题)已知正数a,b满足a+2b=1,则下列选项正确的有(　　) A.ab有最大值 B.+有最小值8 C.+有最小值4 D.a2+b2有最小值 解析:(1)因为a,b,c均为正实数, 则=≤===≤=, 当且仅当=2b,且a=c,即a=b=c时,取等号,则的最大值为. 故选A. (2)根据题意,依次分析选项. 对于A,a·2b≤=⇒ab≤,当且仅当a=,b=时,取等号,则A正确; 对于B,+=(a