4.2 指数函数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

4.2　指数函数 4.2.1　指数爆炸和指数衰减 4.2.2　指数函数的图象与性质 核心知识目标 核心素养目标 1.了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念. 2.掌握指数函数的图象及简单性质. 3.会求指数形式的函数定义域、值域、最值,能判断与证明其单调性. 4.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式. 5.掌握指数函数的实际应用. 1.通过理解指数函数的概念和意义,达成数学抽象的核心素养. 2.通过借助计算工具画出简单指数函数的图象,发展直观想象的核心素养. 3.借助指数函数的性质,研究指数型函数的相关问题,增强学生的数学运算及数学抽象的核心素养. 4.通过指数函数的实际应用,强化数学建模的核心素养. 1.指数爆炸和指数衰减 (1)指数函数的定义 一般地,函数y=ax(x∈R)叫作指数函数,其中a>0,且a≠1. (2)当底数a>1时,指数函数值随自变量的增长而增大,底数a较大时指数函数值增长速度惊人,被称为指数爆炸. 反过来,如果0<a<1时,指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于0,叫作指数衰减. 2.指数函数的图象与性质 表达式 y=ax(0<a<1) y=ax(a>1) 图象 定义域 (-∞,+∞) 值域 (0,+∞) 性质 函数图象过定点(0,1),即a0=1 在R上单调递减 在R上单调递增 注意:从图象看指数函数y=ax(a>1)的性质,和理性认识相符,例如: (1)图象总在x轴上方,且图象与x轴永不相交,值域是(0,+∞). (2)图象恒过点(0,1),用式子表示就是a0=1. (3)函数是区间(-∞,+∞)上的增函数. 1.下列函数中,指数函数的个数为(　B　) ①y=()x-1;②y=ax(a>0,且a≠1);③y=1x;④y=()2x-1. A.0个 B.1个 C.3个 D.4个 解析:由指数函数的定义可判定,只有②正确.故选B. 2.函数y=2|x|的图象是(　B　) 解析:y=2|x|= 故选B. 3.指数函数y=f(x)的图象经过点(π,e),则f(-π)=　　　　.  解析:设指数函数为y=ax(a>0,且a≠1),则aπ=e, 所以f(-π)=a-π=(aπ)-1=e-1=. 答案: 4.函数y=4x+1的值域是　　　　.  解析:由4x>0知1+4x>1, 故y>1. 答案:(1,+∞) 　指数函数的概念 [例1] (1)下列函数:①y=6x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=ex(无理数e=2.718 28…);⑥y=;⑦y=(2a-1)x(a>,a≠1).其中是指数函数的是　　　　(填序号).  (2)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9),则f(x)=　　　　,f(-1)=　　　　.  解析:(1)根据指数函数的定义进行判断, 得①⑤⑦为指数函数. 而②中自变量不在指数上;③系数不为1;④中底数-4<0;⑥中指数不是x,而是x2,故②③④⑥都不是指数函数. (2)设f(x)=ax(a>0,a≠1), 将点(2,9)代入解析式得a2=9, 解得a=3(a=-3舍去), 即f(x)=3x, 所以f(-1)=3-1=. 答案:(1)①⑤⑦　(2)3x　 [即时训练1-1] (2022·湖南衡阳高一期中)函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函数,则a的取值是(　　) A.a=2 B.a=1 C.a= D.a=1或a= 解析:因为函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函数, 所以2a2-3a+2=1,且a>0,a≠1. 由2a2-3a+2=1 解得a=1或a=, 所以a=.故选C. 判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构形式,其具备的特点为 　指数函数的图象 探究角度1　图象过定点问题 [例2] 已知函数f(x)=a2x-2+3(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是(　　) A.(0,3) B.(1,3) C.(0,4) D.(1,4) 解析:当2x-2=0时,x=1,即f(1)=a2-2+3=1+3=4,故P(1,4).故选D. [即时训练2-1] (2022·湖北襄阳高一期中)已知函数f(x)=ax+1-3的图象恒过定点P,则点P的坐标为(　　) A.(0,-2) B.(-1,-2) C.(-2,1) D.(0,-3) 解析:令x+1=0,解得x=-1, 此时f(-1)=1-3=-2, 所以点P的坐标为(-1,-2).故选B. 解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),据此,可解决形如y=k·ax+c+b(k≠0,a>0,且a≠1)的函数图象过定点的问题,即令x=-c,得y=k+b,则函数