4.3.1 对数的概念-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 4.3.1　对数的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.理解对数的概念.2.理解对数的简单性质． 教学重点：1.对数的概念，指数式与对数式的互化.2.对数的简单性质． 教学难点：对数概念的理解，指数式与对数式之间的转化． 核心素养：借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题培养数学抽象素养和数学运算素养． 知识点一　对数的概念 如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN．这里，a叫作对数的底数，N叫作对数的真数． 知识点二　对数与底数的关系 (1)对数的基本恒等式 ①alogaN＝N(N>0，a>0且a≠1)； ②b＝logaab(b∈R，a>0且a≠1)． (2)底的对数为1，即logaa＝logaa1＝1. 1的对数为0，即loga1＝logaa0＝0. 在对数的概念中规定a>0且a≠1的原因 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0， ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1， ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)logaN是loga与N的乘积．(　　) (2)log32＝x化成指数式为2x＝3.(　　) (3)因为(－2)2＝4，所以log(－2)4＝2.(　　) (4)log53与log35的意义相同．(　　) (5)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．做一做 (1)若a2＝M(a>0，且a≠1)，则有(　　) A．logaM＝2 B．log2M＝a C．loga2＝M D．log2a＝M (2)log31＋log55＝________． (3)将对数式x＝log28化为指数式为________． (4)已知log3＝0，则x＝________． 答案：(1)A　(2)1　(3)2x＝8　(4)2 　对数的概念 　(1)使对数log2(－2x＋1)有意义的x的取值范围为(　　) A. B. C. D. [解析]　要使对数log2(－2x＋1)有意义，只要使真数－2x＋1>0即可，即x<，所以x的取值范围为，故选C. [答案]　C (2)在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　) A．a>5或a<2 B．2<a<5 C．2<a<3或3<a<5 D．3<a<4 [解析]　由题意，得解得2<a<3或3<a<5. [答案]　C 【感悟提升】　对数有意义的条件 对数有意义的两个条件：①底数大于零且不等于1；②对数的真数必须大于零． 【跟踪训练】 1．若log(2x－1)(x＋2)有意义，求x的取值范围． 解：若对数有意义，则真数大于0，底数大于0且不等于1， 所以解得x>，且x≠1. 即x的取值范围是. 　指数式与对数式的互化 　将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式： (1)2－7＝；(2)log32＝－5； (3)34＝81；(4)log525＝2. [解]　(1)由2－7＝，可得log2＝－7. (2)由log32＝－5，可得＝32. (3)由34＝81，可得log381＝4. (4)由log525＝2，可得52＝25. 【感悟提升】　指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式． (2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 【跟踪训练】 2．将下列指数式与对数式互化： (1)log216＝4；(2)log27＝－3； (3)43＝64；(4)＝16. 解：(1)由log216＝4可得24＝16. (2)由log27＝－3可得＝27. (3)由43＝64可得log464＝3. (4)由＝16可得log16＝－2. 　利用指数式与对数式的关系求值 　(1)求下列各式中x的值： ①log27x＝－；②logx16＝－4. [解]　①因为log27x＝－， 所以x＝27－＝(33)－＝3－2＝. ②因为logx16＝－4，所以x－4＝16，即x－4＝24. 所以＝24，所以＝2，即x＝. (2)求下列各式的值： ①log5125；②log2. [解]　①设x＝log5125，则5x＝125＝53， 所以x＝3， 即log5125＝3. ②设x＝log2，则2x＝＝2－4， 所以x＝－4，即log2＝－4. 【感悟提升】　对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题； ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． 【跟踪训练】 3．(1)求下列各式中x的值： ①log7(x＋2)＝2；②x＝log2. 解：①因为log7(x＋2)＝2，所以x＋2＝72， 解得x＝47. ②由x＝log2，可得＝2，即2－x＝2，解得x＝－. (2)求下列各式的值： ①log927；②；③. 解：①设x＝log927，则9x＝27，32x＝33，所以x＝. ②设x＝，则()x＝81，3＝34，所以x＝16. ③令x＝，所以()x＝625，5＝54. 所以x＝3. 　对数的性质及对数恒等式 　求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(log2x)＝1； (3)log3[log4(log5x)]＝0. [解]　(1)因为log2(log5x)＝0，所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5. (2)因为log3(log2x)＝1，所以log2x＝31＝3，所以x＝23＝8. (3)由log3[log4(log5x)]＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625. 【感悟提升】　 1．利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 2．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用 (1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式． (2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数． 【跟踪训练】 4．(1)已知log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值． 解：因为log2[log3(log4x)]＝0， 所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3. 所以x＝43＝64.同理求得y＝16. 所以x＋y＝80. (2)求31＋log36－24＋log23＋53log53＋的值． 解：原式＝31×3log36－24×2log23＋(5log53)3＋3－2×log34 ＝3×6－16×3＋33＋(3log34)－2 ＝18－48＋27＋＝－. 1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　) A．20＝1与log21＝0 B．27－＝与log27＝－ C．log39＝2与9＝3 D．log55＝1与51＝5 答案：C 解析：C不正确，由log39＝2可得32＝9. 2．若3x＝2，则x＝(　　) A．log23 B．log32 C．32 D．23 答案：B 解析：3x＝2⇔x＝log32. 3．若log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，则x＝________． 答案：4 解析：因为log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，所以即解得x＝4. 4．＝________． 答案：5 解析：因为＝5，＝0，所以原式＝5＋0＝5. 5．求下列各式中x的值： (1)logx27＝； (2)log2x＝－； (3)x＝log27； (4)x＝. 解：(1)由logx27＝可得x＝27， ∴x＝27＝(33)＝32＝9. (2)由log2x＝－可得x＝2－. ∴x＝＝＝. (3)由x＝log27可得27x＝. ∴33x＝3－.∴x＝－. (4)由x＝可得＝16. ∴2－x＝24.∴x＝－4. 一、选择题 1．要使对数log(x－3)(x＋1)有意义，则x的取值范围为(　　) A．(－∞，3] B．(3，4)∪(4，＋∞) C．(4，＋∞) D．(3，4) 答案：B 解析：由题意可得解得x>3且x≠4.故选B. 2．方程2log3x＝的解是(　　) A．9 B. C. D. 答案：D 解析：∵2log3x＝＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝. 3．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10，3b＝7，∴3a－b＝＝. 4．已知a＝(a>0)，则＝(　　) A. B. C．3 D．－3 答案：C 解析：∵a＝(a>0)，∴a＝＝.∴＝ ＝3.故选C. 5．若log5[log3(log2x)]＝0，则x－＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∵log5[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1.∴log2x＝3.∴x＝23＝8.∴x－＝8－＝＝＝. 二、填空题 6．若log2＝1，则x＝________． 答案： 解析：因为log2＝1，所以＝2.即2x－5＝6.解得x＝. 7．－＋log5＋的值是________． 答案：－3 解析：原式＝－－＋log55－2＋(－1)0＝－－2＋1＝－3. 8．已知f(x)＝则满足f(x)＝的x的值为________． 答案：3 解析：由题意得①或②解①得x＝2，与x≤1矛盾，故舍去，解②得x＝3，符合x>1.所以x＝3. 三、解答题 9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)24＝16；(2)＝0.45； (3)log3a＝－1.5；(4) ＝. 解：(1)log216＝4. (2) ＝b. (3)3－1.5＝a. (4)(m2＋1)＝n＋1. 10．若＝a，＝a＋2，求的值． 解：由题意知x＝，y＝， 所以x4＝，y2＝＝， ＝＝＝＝256. 11．已知f(2x＋1)＝，则f(4)＝(　　) A.log25 B.log23 C. D. 答案：B 解析：令2x＋1＝4，得x＝log23，所以f(4)＝log23.故选B. 12．(1)计算：； (2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值． 解：(1) ＝× ＝×＝×＝. (2)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3， 则a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$