专题05 函数与方程-2023年高考数学尖子生强基计划校考讲义及强基真题解析

专题05函数与方程 1、 真题特点分析： 1. 【2022年中科大2】已知，求素因子个数的最小值。 解析：首先，当，时，原式，只有两个因式2,3. 其次说明不可能只有1个素因子。 因为与的奇偶性不同，故一奇一偶。 故原式有两个素因子2和另一个素因子。故素因子个数的最小值2。 2.【2021年北大13】方程的整数解的组数为________． 答案：2 解析：方程等价于， 判别式 判别式是一个平方数，经验证只能，此时. 方程转化为 解得或，因此 答案：由方程的性质可知整数解的组数为2 3.【2020年清华29】已知函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 答案：D 解析：设函数的零点为，则， 所以在直线上。 表示到原点的距离，因而 构造函数，求导可得， 可得在时递增，所以的最小值为. 4.【2020年北大4.】设是方程的4个复根,则数的值为（ ） (A)-4 (B)-3 (C)3 (D)前三个答案都不对 【答案】A 【解析】由题意可得 设 则 ， 只需要 则 故，所以选A 二、知识要点拓展 1． 一元二次方程有关公式 1.一元二次方程的根： 2.根与系数的关系：，（韦达定理） 3.判别式：． 二．函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题 1.函数不等式的恒成立问题： （1）不等式在集合上恒成立在集合上． （2）不等式在集合上恒成立在集合上． 2.函数不等式的能成立问题： （1）在集合上存在实数使不等式成立在集合上． （2）在集合上存在实数使不等式成立在集合上． 3.函数不等式的恰成立问题： 不等式在集合上恰成立该不等式的解集为． 三．几个常见的函数方程 1.正比例函数,具有性质：. 2.指数函数,具有性质：. 3.对数函数,具有性质：. 方程的根与函数的零点： 1. 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 2.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 3.零点存在定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少存在一点，使。 ►函数零点的理解： （1）函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数的零点的个数，亦即函数的图像与x轴交点的个数 （2） 函数的零点不是点，而是函数函数的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。 （3）若函数在区间上的图象是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。 四．高次方程韦达定理 ①三次方程韦达定理 设三次方程的三个根为,那么 ②如果一元次多项式的根为,那么 以上定理称为韦达定理。它确定了根与系数的关系。利用韦达定理，一元n次方程可直接求方程的根。 ③整系数多项式 设，若，则称为的根（或零点）；又若是的重因式，则称为的k重根，当时，称为的单根。 代数基本定理： 任意一个次数不小于1的多项式至少有一个复数根。 根的个数定理： 任意一个次多项式的复数根的个数（依重数累加）恰有个，依次定理可知任何一个可以分解为，其中，为两两不同的复数，，且。这是多项式在复数范围内的标准分解式。 虚根成对定理：设为的复根，即，则，于是也是的根。也就是说实系数多项式的虚根成对出现。 实系数多项式分解定理：设,则可分解为，其中且。 整系数多项式的有理根： 设是的有理根，则，并且可写，其中。 依上述定理可知，若，的首项系数为1，则的有理根都是整数根。 三、典例精讲 例1．（复旦）设三次方程的3个根互异，且可成等比数列，则它们的公比是 。 （A） （B） （C） （D） ►分析与解答： 设这三个根为，则由三次方程根的韦达定理有 。 故选A。 例2．（北大）求的实数根的个数。 ►分析与解答：原方程即 。 。令。由于 。所以原方程无实根。 例3．（复旦）设，，是三次方程的3个根，则总以为根的三次方程是（ ） （A） （B） （C） （D） ►分析与解答：由三次方程的韦达定理： 而 对选项逐个用韦达定理检验，只有选项B适合。 例4．（清华）请证明：方程在为偶数的时候没有实数根，在为奇数的时候，有且仅有一个实数根。 ►分析与解答： 用归纳法证明：为奇数时，单调递增，且值域为；为偶数时，恒成立。这里。 对求导有 。 时，，它在上单调递增，且值域为。 时，。 故时结论成立。 设时结论成立。则时， ①当为偶数时，，。因为为奇数，由归纳假设在上单调递增，且值域为。故方程有且仅有一个实根，设为，当时，；当时，，所以对而言，只有，且当时，，当时，。 所以是的最小值，于是（因为为偶数）。。即为偶数时恒成立。