参数方程复习讲义-2021-2022学年高二下学期数学人教A版选修4-4

参数方程 1、 知识复习 1、参数方程的概念:一般地,在取定的直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数的函数,即 并且对于每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x、y之间关系的变数叫做参变数,简称参数。 2、参数方程与普通方程的互化:把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法,常见的消参方法有代入消参法,加减消参法,混合消参法等。 3、常见曲线的参数方程如下: (1)过定点,倾角为的直线: (t为参数)其中参数t是以定点P为起点,对应于点M(x,y)为终点的有向线段PM的数量,又称为点P与点M间的有向距离。 根据t的几何意义,有以下结论:①设A,B是直线上任意两点,它们对应的参数分别为, 则。②线段AB的中点所对应的参数值等于。 (2)中心在,半径等于r的圆:(为参数)。 (3)中心在原点,焦点在轴(或轴)上的椭圆: (或 )。 中心在点焦点在平行于轴的直线上的椭圆的参数方程 。 (4)双曲线的参数方程:双曲线的参数方程为. (5)抛物线的参数方程:抛物线的参数方程为(为参数,参数的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数). 2、 题型分类讲解 题型一:参数方程与普通方程的互化 (1)化参数方程为普通方程:消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常用方法有:①代入消去法;②加减消去法;③乘除消去法;④三角恒等式消去法. (2)化普通方程为参数方程:只要适当选取参数t,确定x=,再代入普通方程,求得y=,即可化为参数方程,确保互化前后方程的等价性,特别要注意参数的变化范围。 1、方程表示的曲线是( ) A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线 2、直线的参数方程为(为参数),则直线的斜率为( ) A. B. C. D. 3、直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为_. 4、已知曲线的参数方程为,将曲线的参数方程转化为普通方程。 5、分别在下列两种情况下,把参数方程化为普通方程: (1)为参数,为常数;(2)为参数,为常数; 题型二:参数方程与极坐标方程互化 基本方法:将参数(极坐标)方程先根据互化方法转化为直角坐标方程,然后再将直角坐标方程转化为极坐标(参数)方程。 1、 已知曲线的极坐标方程为。将曲线的极坐标方程转化为参数方程 2、在直角坐标系中,以为极点,正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 ,分别为与轴,轴的交点。写出C的参数方程,并求的直角坐标; 题型三:参数方程与普通方程的综合应用 参数方程应用于解析几何是常见方法,而我们多数知识是利用普通方程来描述数量关系的,因而首先将参数方程转化为普通方程再解题是常见的解题思路.同时,在直角坐标系中,很多比较复杂的计算(如圆锥曲线)时就借助于参数方程来解决。求有关点坐标(x,y)的代数式及与直线有关的线段的范围问题,一般都将普通方程化为参数方程。利用参数表示曲线上动点坐标,可解决代数式,动点相关范围问题;利用直线参数t的几何意义,可以解决相关线段取值问题。 1、若直线与圆( 为参数)没有公共点,则实数的取值范围是 . 2、在平面直角坐标系中,直线的参数方程(参数),圆的参数方程为(参数),则圆圆心坐标为 _,圆心到直线的距离为 . 3、已知直线与直线相交于点,又点,则 。 4、在平面直角坐标系中,设是椭圆上的一个动点,求的最大值. 5、已知点是圆上的动点. (1)求的取值范围;(2)若恒成立,求实数的取值范围. 6、直线过,倾斜角.(1) 写出的参数方程;(2)与圆相交于两点,求到两点的距离之积. 7、过点作倾斜角为的直线与曲线交于点,求的值及相应的的值; 题型四:极坐标方程与参数方程的综合应用 如题型三所述思路,解决题型四可以先将方程转化为普通方程,再如题型三所述思路可得。 1、已知圆锥曲线和定点,是圆锥曲线的左右焦点。 (1)求经过点且垂直于直线的直线的参数方程; (2)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线的极坐标方程。 2、在直角坐标系中,曲线的参数方程为,为上的动点,点满足,点的轨迹为曲线. (I)求的方程;(II)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求. 3、 已知曲线(为参数),曲线. (1)若分别是曲线和曲线上的两个动点,求线段长度的最小值; (2)若曲线上与轴、轴的正半轴分别交于点,是曲线上第一象限内的动点,是坐标原点,试求四边形面积的最大值. 学科网(北京)股份有限公司 $