专题11 幂函数及其性质-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题11 幂函数及其性质 【考点预测】 考点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 考点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 考点二、幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 考点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【典型例题】 例1．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）由题意，幂函数， 可得，即，解得或， 当时，函数为奇函数， 当时，为非奇非偶函数， 因为为奇函数，所以. （2）由（1）知，可得在上为增函数， 因为，所以，解得， 所以的取值范围为. 例2．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数为偶函数， (1)求函数的解析式； (2)若函数在上的最大值为2，求实数的值． 【解析】（1）因为为幂函数， 所以，解得或 因为为偶函数， 所以，故的解析式； （2）由（1）知，对称轴为，开口向上， 当即时，，即； 当即时，，即； 综上所述：或． 例3．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的定义域为全体实数R. (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数k的取值范围. 【解析】（1）∵是幂函数，∴，∴或2. 当时，，此时不满足的定义域为全体实数R， ∴m＝2,∴. （2）即，要使此不等式在上恒成立， 令,只需使函数在上的最小值大于0. ∵图象的对称轴为，故在上单调递减， ∴， 由，得， ∴实数k的取值范围是. 例4．（2022·重庆八中高一期中）已知幂函数，且. (1)求函数的解析式； (2)若均为正数且，求的最小值. 【解析】（1）幂函数，则，解得或， 当时，是奇函数，舍去；当时，是偶函数，满足. 故. （2），， 即， ， 当，即时等号成立，故的最小值为. 例5．（2022·陕西·永寿县中学高一期中）已知幂函数，且. (1)求函数的解析式； (2)试判断是否存在正数，使得函数在区间上的最大值为5，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题知，，解得或， 当时，，满足， 当时，，不满足， 所以. （2）. 当时，在区间上单调递增，在上单调递减， 所以， 解得，不合题意； 当时，在区间上递增， 所以，解得. 综上所述，存在正数，使得在区间上的最大值为5. 例6．（2022·福建·厦门外国语学校高一期中）已知幂函数在上单调递减． (1)求m的值并写出的解析式； (2)试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以，解得或（舍），所以； （2）由（1）可得，，所以， 假设存在，使得在上的值域为， ①当时，，此时在上单调递减，则，无解，故不符合题意； ②当时，，显然不成立； ③当时，，在上单调递增，则，解得． 综上所述，存在使得在上的值域为． 例7．（2022·广东·佛山市顺德区乐从中学高一期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）为幂函数，，解得：或； 当时，在上单调递减，不合题意； 当时，在上单调递增，符合题意； 综上所述：. （2）由（1）得：在上恒成立， 在上恒成立， 当时，，，解得：， 即实数的取值范围为. 【过关测试】 一、单选题 1．（2022·福建南平·高一期