4.6 函数的应用（二）-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第二册)

4.6 函数的应用（二） 一、几种常见的函数模型 1、一次函数模型：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 二、用函数模型解应用问题的四个步骤 1、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2、建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 3、求模：求解数学模型，得出数学模型； 4、还原：将数学结论还原为实际问题。 三、函数拟合与预测的一般步骤 1、通过原始数据、表格，绘出散点图； 2、通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； 3、求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； 4、根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； 5、利用选取的拟合函数进行预测； 6、利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据。 题型一 根据实际问题选择函数模型 【例1】若三个变量、、，随着变量的变化情况如下表. 2 则关于分别呈函数模型：、、变化的变量依次是（ ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式1-1】今有一组实验数据如下： x 2 3 4 5 6 y 1.5 2.01 2.98 5.02 8.98 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是（ ）A． B． C． D． 【变式1-2】某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： x 3 9 27 81 y 2 3.1 4 5.2 以下函数中最符合变量y与x的对应关系是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】某一辆汽车经过多次实验得到，每小时耗油量（单位：与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下四种模型供选择：甲：，乙：，丙：，丁：.其中最符合实际的函数模型为（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1-4】某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x（年）的函数关系较为近似的是（ ） A．y＝0.2x B．y＝（x2＋2x） C．y＝ D．y＝0.2＋log16x 题型二 指数函数的模型应用 【例2】某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：）与过滤时间（单位：）间的关系为（，均为非零常数，为自然对数的底数），其中为时废气中的污染物数量，经测试过滤5h后还剩余80%的污染物. （1）求常数的值； （2）试计算废气中的污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1，参考数据：，） 【变式2-1】银行储蓄存款是一种风险较小的投资方式，将一定数额的本金存入银行，约定存期，到期后就可以得到相应的利息，从而获得收益，设存入银行的本金为P（元），存期为m（年），年化利率为r，则到期后的利息（元）．以下为上海某银行的存款利率： 存期 一年 二年 三年 年化利率 1.75% 2.25% 2.75% （1）洪老师将10万元在上海某银行一次性存满二年，求到期后的本息和（本金与利息的总和）； （2）杜老师准备将10万元在上海某银行存三年，有以下三种方案： 方案①：一次性存满三年； 方案②：先存二年，再存一年； 方案③：先存一年，再续存一年，然后再续存一年； 通过计算三种方案的本息和（精确到小数点后2位）判断哪一种方案更合算，并基于该实际结果给予杜老师一般性的银行储蓄存款的建议． 【变式2-2】自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择． （1）试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该