圆锥曲线某点处的切线问题-2023届新高考数学大一轮复习真题源专题讲义

本资料分享自新人教版高中数学资源大全QQ群323031380 期待你的加入与分享 补上一课 ,圆锥曲线某点处的切线问题) 1．设圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上有一点P(x0，y0)，则过P点的切线方程为(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2. 2．(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)上有一点P(x0，y0)，则P点处的切线方程为＋＝1(a＞b＞0)． (2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上有一点P(x0，y0)，则P点处的切线方程为－＝1. (3)抛物线y2＝2px(p＞0)上有一点P(x0，y0)，则P点处的切线方程为y0y＝p(x＋x0)． 题型一　椭圆的切线方程 【例1】 (2021·诸暨期末)已知F是椭圆＋y2＝1的右焦点，过F的直线交椭圆于A，B两点，过A，B两点的椭圆的切线交于点P. (1)当AB的斜率为1时，求点P的坐标． (2)过点P作AB的垂线，交椭圆于C，D两点． ①求证：F在直线CD上； ②求四边形ACBD面积的最大值． 注：本题可以直接应用定理，椭圆＋y2＝1上一点(x0，y0)处的切线方程是＋y0y＝1. 解　(1)由题意知F(1，0)，当直线AB的斜率为1时，直线AB的方程为y＝x－1， 则∴A，B(0，－1)， ∴lAP：＋＝1， 即2x＋y＝3，lBP：y＝－1， ∴点P的坐标为(2，－1)． (2)①证明　设lAB：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程 化简得(m2＋2)y2＋2my－1＝0， 则 由 作差得＋y＝0⇒y＝－x， 代入切线PA的方程得x＝＝＝2， y＝－x＝－m， ∴lCD：x－2＝－(y＋m)， 即y＝－m(x－1)， ∴直线CD恒过定点(1，0)，即点F在直线CD上． ②结合①可得 |AB|＝|y1－y2|＝ ＝， 同理得|CD|＝， ∴四边形ABCD的面积S＝|AB|·|CD|＝. 令m2＋1＝t≥1，则m2＝t－1， ∴S＝＝＝， ∴当t＝1，即m＝0时，Smax＝2. 感悟升华　(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)在点P(x0，y0)(P在椭圆上)处的切线方程可通过隐函数求导得出． (2)过椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)外一点P(x0，y0)引椭圆的两条切线PA，PB，(A，B为切点，弦AB所在的直线方程为＋＝1(a＞b＞0)． (3)对椭圆＋＝1(a＞b＞0)也有上述类型结论． 【训练1】 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点Q. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若O为坐标原点，P为直线l：x＝2上的一动点，过点P作直线l′与椭圆相切于点A，若△POA的面积S为，求直线l′的方程． 解　(1)由题意得2c＝2，∴c＝1. ∵椭圆C过点Q，∴＋＝1. ∵c2＝a2－b2，解得a2＝2，b2＝1. ∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)设A(x0，y0)，则切线l′的方程为＋yy0＝1， 即y＝－x， 则直线l′与x轴交于点B，∵P， ∴S△POA＝··＝， 即＝，∴＝±， 即或 解得x0＝1，y0＝－或x0＝1，y0＝(x0＝0，y0＝±1不合题意舍)， ∴直线l′的方程为y＝－x＋或y＝x－. 题型二　双曲线的切线方程 【例2】 (一题多解)求双曲线x2－＝1在点(，)处的切线方程． 解　法一　对x2－＝1求导得2x－y·y′＝0， ∴y′＝， ∴y′|x＝＝2，故双曲线x2－＝1在点(，)处的切线方程为y－＝2(x－)，即2x－y－＝0. 法二　由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是－＝1， ∴双曲线x2－＝1在点(，)处的切线方程为x－＝1， 即为2x－y－＝0. 感悟升华　(1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是－＝1. (2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线Ax＋By＋C＝0相切的条件是A2a2－B2b2＝c2. (3)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外一点P(x0，y0)所引两条切线的切点弦方程是－＝1. 【训练2】 (一题多解)已知P(1，1)是双曲线外一点，过P引双曲线x2－＝1的两条切线PA，PB，A，B为切点，求直线AB的方程． 解　法一　设切点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则PA：x1x－＝1，PB：x2x－＝1， 又点P(1，1)代入得x1－y1＝1，x2－y2＝1， ∴点A(x1，y1)，B(x2，y2)均在直线x－y＝1上， ∴过直线AB的方程为x－y＝1， 即2x－y－2＝0. 法二　利用结论(2)得直线AB的方程为x－＝1，即2x－y－2＝0. 题型三　抛物线的切线方程 【例3】 (2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. (1)证明：直线AB过定点；