与均值、方差有关的比较大小、增减分析及最值(范围)问题-2023届新高考数学大一轮复习真题源专题讲义

本资料分享自新人教版高中数学资源大全QQ群323031380 期待你的加入与分享 补上一课 ,与均值、方差有关的比较大小、增减分析及最值(范围)问题) 关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范围． 题型一　随机变量的均值、方差比较大小 【例1】 (1)(2021·衡水中学调考)一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能地取出小球．当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则(　　) A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) B．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2) C．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2) (2)(一题多解)(2021·绍兴适考)已知x1，x2，x3∈R，x1<x2<x3，设y1＝，y2＝，y3＝，z1＝，z2＝，z3＝，若随机变量X，Y，Z满足：P(X＝xi)＝P(Y＝yi)＝P(Z＝zi)＝(i＝1，2，3)，则(　　) A．D(X)<D(Y)<D(Z) B．D(X)>D(Y)>D(Z) C．D(X)<D(Z)<D(Y) D．D(X)>D(Z)>D(Y) 答案　(1)B　(2)B 解析　(1)一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1，则ξ1的所有可能取值为0，1，2，ξ1～B，E(ξ1)＝2×＝，D(ξ1)＝2××＝；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则ξ2的所有可能取值为0，1，P(ξ2＝0)＝×＝，P(ξ2＝1)＝×＋×1＝，∴E(ξ2)＝0×＋1×＝，D(ξ2)＝×＋×＝，∴E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)，故选B. (2)法一　由题意可知x1＋x2＋x3＝y1＋y2＋y3＝z1＋z2＋z3，则由离散型随机变量的数学期望公式得E(X)＝E(Y)＝E(Z)＝.又E(X2)＝，由基本不等式得E(Y2)＝＝(x＋x＋x＋x1x2＋x2x3＋x3x1)<E(X2)，同理可知，E(Z2)<E(Y2)，故E(X2)－[E(X)]2>E(Y2)－[E(Y)]2>E(Z2)－[E(Z)]2，即D(X)>D(Y)>D(Z)，故选B. 法二　由于随机变量y1，y2，y3为x1，x2，x3两两的平均值，则x1<，，<x3，即y1，y2，y3比x1，x2，x3集中，同理，z1，z2，z3比y1，y2，y3集中．由方差的意义，随机变量的取值越集中，则方差越小，知D(X)>D(Y)>D(Z)． 感悟升华　(1)求值比较；(2)用比差法． 【训练1】 (1)(2021·绍兴适应性考试)一个袋中有m个红球，n个白球，p个黑球(1≤m＜n≤5，p≥4)，从中任取1个球(每球取到的机会均等)，设ξ1表示取出的红球个数，ξ2表示取出的白球个数，则(　　) A．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2) B．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) C．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2) D．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) (2)(2020·嵊州适考)已知随机变量ξi的分布列如下： ξi 0 1 2 P (1－pi)2 2pi(1－pi) p 其中i＝1，2，若0<p1<p2<，则(　　) A．E(2ξ1)<E(2ξ2)，D(2ξ1)<D(2ξ2) B．E(2ξ1)<E(2ξ2)，D(2ξ1)>D(2ξ2) C．E(2ξ1)>E(2ξ2)，D(2ξ1)<D(2ξ2) D．E(2ξ1)>E(2ξ2)，D(2ξ1)>D(2ξ2) 答案　(1)D　(2)A 解析　(1)由题意得ξ1，ξ2的分布列分别为 ξ1 0 1 P 　 ξ2 0 1 P 则E(ξ1)＝，E(ξ2)＝，D(ξ1)＝，D(ξ2)＝，又因为n＞m，则m(n＋p)－n(m＋p)＝(m－n)p＜0，所以E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)，故选D. (2)由分布列知ξi～B(2，pi)(i＝1，2)，则E(ξ1)＝2p1，E(ξ2)＝2p2，D(ξ1)＝2p1(1－p1)，D(ξ2)＝2p2(1－p2)，所以E(2ξ1)＝2E(ξ1)＝4p1，E(2ξ2)＝2E(ξ2)＝4p2，D(2ξ1)＝4D(ξ1)＝8p1(1－p1)，D(2ξ2)＝4D(ξ2)＝8p2(1－p2)．因为0<p1<p2<，所以E(