由递推公式判定数列的单调性、两个经典不等式,在数列中的应用-2023届新高考数学大一轮复习真题源专题讲义

本资料分享自新人教版高中数学资源大全QQ群323031380 期待你的加入与分享 补上一课 ,由递推公式判定数列的单调性、两个经典不等式,在数列中的应用) 数列的压轴小题，常以递推公式的形式出现，灵活性强且难度较大． 常用方法主要有： (1)利用单调性直接判定； (2)利用叠代函数； (3)利用代数不等式ex≥x＋1，ln x≤x－1(x>0)． 题型一　由递推公式判定数列的单调性 【例1】 (1)(2021·名校冲刺卷二)已知数列{an}，{bn}满足：a1＝1，b1＝2，an＋1＝＋an，bn＋1＝＋bn，则(　　) A．a2 020>a2 021 B．a2 020>b2 020 C．b2 020<5 D．a2 020<5 (2)(2021·宁波十校联考)已知常数p>0，数列{an}满足an＋1＝|p－an|＋2an＋p(n∈N*)，首项为a1，前n项和为Sn.若Sn≥S3对任意n∈N*恒成立，则的取值范围为________． 答案　(1)D　(2)[－6，－4] 解析　(1)由题意a1>0，b1>0及递推关系可知an>0，bn>0.因为1＋an＋1＝，所以＝1＋>1，即an＋1>an，故数列{an}单调递增， 即所以－＝＝－＝－＝…＝－，而－＝是一个常数，所以＝＋>，解得an<5，故a2 020<5.又因为＝＋>，所以an<bn.综上，故选D. (2)依题意得an＋1－an＝|p－an|＋an＋p≥(p－an)＋an＋p＝2p>0，即an＋1>an，数列{an}递增．又Sn≥S3，因此a1<a2<a3≤0≤a4<a5<…，于是有a2＝|p－a1|＋2a1＋p＝p－a1＋2a1＋p＝a1＋2p，a3＝|p－a2|＋2a2＋p＝p－a2＋2a2＋p＝a2＋2p＝a1＋4p，a4＝|p－a3|＋2a3＋p＝p－a3＋2a3＋p＝a1＋6p，即有解得 －6≤≤－4，即的取值范围是[－6，－4]． 感悟升华　(1)对递推公式适当变换，判定出函数的单调性(避开求通项公式)；(2)注意运用不等式的性质． 【训练1】 (1)(2021·宁波十校联考)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a－an＋1，n∈N*，则(　　) A．存在k∈N*，使2k－2<ak<2k－1 B．存在m，k∈N*，有am＝kak C．存在m，k∈N*，有am＝mak D.＋＋…＋<1 (2)(2021·浙江名师预测二)已知数列{an}满足a1＝，an＋1－an＝(n∈N*)，则使an>的正整数n的最小值是(　　) A．2 018 B．2 019 C．2 020 D．2 021 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)由an＋1＝a－an＋1，n∈N*得an＋1－an＝(an－1)2，由于a1＝2>1，所以(an－1)2>0，则an＋1－an>0，所以{an}为递增数列，故当n≥2时，＝an＋－1>a2＋－1>2，所以an>a2·2n－2>2n－1(n≥2)．又a1＝2，所以不存在k∈N*，使 2k－2<ak<2k－1；若存在m，k∈N*，有am＝kak或am＝mak，由数列{an}不单调递减，知m>k，因为an＋1－1＝an(an－1)，a1＝2∈Z，则an∈Z，由累乘法得an－1＝an－1·an－2·…·am(am－1)，所以＝an－1·an－2·…·am＋1·(am－1)＋∉Z，故选项B，C错误；由an＋1－1＝an(an－1)得＝＝－，即＝－，由累加法得＋＋…＋＝－＝1－，由{an}为递增数列，可得>0，则1－<1，即＋＋…＋<1，故选D. (2)由an＋1－an＝>0得数列{an}单调递增，且＝＝－，所以－＝，可得4－＝－＝＋＋…＋，当n＝2 019时，因为＝a1<a2<…<a2 018，所以4－<<1，解得a2 019<；同理当n＝2 020时，4－＝＋＋…＋>>＝1，得a2 020>，故选C. 题型二　迭代函数在数列中的应用 【例2】 (1)(2021·浙江考前冲刺卷五)已知函数f(x)＝x＋ln(4－x)，数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝f(an)，{an}的前n项和为Sn，则下列选项不正确的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．a19≤3 C．Sn≤3n－2 D．存在n∈N*，使得an＝ (2)(2021·浙江名校联盟一联)已知数列{an}满足an＋1＋＝2an＋(n∈N*)，则(　　) A．当0<an<1(n∈N*)时，an＋1>an B．当an>1(n∈N*)时，an＋1<an C．当a1＝时，an＋1＋> D．当a1＝2时，an＋1＋< 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)因为f(x)＝x＋ln(4－x)，所以函数f(x)的定义域为(－∞，4)，且f′(x)＝1＋＝，所以函数f(x)