数列中的不等式问题-2023届新高考数学大一轮复习真题源专题讲义

本资料分享自新人教版高中数学资源大全QQ群323031380 期待你的加入与分享 补上一课 数列中的不等式问题) 1．数列中的不等式问题在我省高考试卷中有加强趋势，主要有以下几种题型： (1)数列不等式的证明； (2)由数列不等式恒成立求参数； (3)由数列不等式求n的最值． 2．解决数列不等式问题的常见放缩技巧 (1)对的放缩，根据不同的要求，大致有三种情况： <＝－(n≥2)； <＝(n≥2)； <＝2(n≥1)． (2)对的放缩，根据不同的要求，大致有两种情况： >＝－(n≥1)； <＝－(n≥1)． 题型一　关于数列项的不等式证明 【例1】 (2021·杭州模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋1＝(n∈N*)． (1)若bn＝，求证数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝a，求证：①0<an≤； ②·≤a≤(n∈N*)． (1)解　an＋1＝＝， 则an＋1与an同号． ∵a1>0，∴an>0(或由数学归纳法可证an>0)， ∴an＋1＝＝＝. ∴＝＋， ∴数列是以2为首项，为公差的等差数列， ∴＝2＋(n－1)×＝，∴an＝. (2)证明　①an＋1＝， 则＝<1， ∴数列{an}是递减数列． ∵a1＝，∴0<an≤. ②＝＝＋an＋≥＋＋2＝＋，即－≥， ∴≥4＋(n－1)＝， ∴a≤. ∵＝≥＝， ∴a≥·. 综上所述，·≤a≤(n∈N*)． 感悟升华　常用方法 (1)利用数列的单调性、有界性放缩； (2)结合“累加”“累乘”“迭代”放缩； (3)结合有界性，利用不等式性质或函数求出最值或范围． 【训练1】 (2021·镇海中学模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an－1＝an(n≥2，n∈N*)． (1)求an； (2)若数列{bn}满足b1＝，bn＋1＝bn＋(n∈N*)，求证：bn<bn＋1<1. (1)解　由an－1＝an(n≥2，n∈N*)得＝(n≥2，n∈N*)， 则累乘得an＝n(n≥2)． 又因为a1＝1满足上式，所以an＝n. (2)证明　由(1)得bn＋1－bn＝＝>0， 所以bn＋1>bn，则bn＋1－bn＝<， 则－＝<<＝－， 累加得－<1－. 又b2＝b1＋＝， 所以>＋>1， 则bn＋1<1，所以bn<bn＋1<1(n≥2)， 当n＝1时，不等式也成立， 所以对任意n∈N*，都有bn<bn＋1<1. 题型二　数列和不等式的证明 角度1　先放缩再求和 【例2－1】 (2021·杭州质检)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1. (1)求an，Sn与Tn； (2)若cn＝，求证：c1＋c2＋…＋cn<. (1)解　设等差数列{an}的公差为d，由题意得 a＝a1·a4， 即d2＝a1d. 因为d≠0，故d＝a1. 由a6＝12得a1＝2，d＝2，故an＝2n，Sn＝n(n＋1)． 由a1·b1＝a2·b2＝1得b1＝，b2＝，所以等比数列的公比q＝＝， 所以Tn＝1－. (2)证明　因为cn＝＝，0<1－<1恒成立， 所以ck<<＝k＋(k∈N*)， 所以c1＋c2＋…＋cn<＝. 故c1＋c2＋…＋cn<. 角度2　先求和再放缩 【例2－2】 (2021·台州期末)设数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的正整数n，都有Sn＝n2.递增的等比数列{bn}满足：b1＝1，且b1，b2，b3－4成等差数列． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求证：＋＋…＋<3. (1)解　因为Sn＝n2， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 当n＝1时，a1＝S1＝1，适合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1. 设等比数列{bn}的公比为q(其中q>0)，因为b1＝1， 故由2b2＝b1＋b3－4，b1＝1，可得q2－2q－3＝0， 解得q＝3或－1(舍去)， 所以数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1. (2)证明　法一　由(1)可得＝，因为n≥2时，3n－1＝(1＋2)n－1>－1＋1＋2C＋22C>2n＋1， 根据“若a>b>0，m>0，则<”， 可得＝<(n≥2)， 所以＋＋…＋≤＋＋…＋. 令Tn＝＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋， 两式相减可得Tn＝＋＋＋…＋－ ＝＋－＝－－， 所以Tn＝－，所以Tn<，所以＋＋…＋<＋＝<3. 法二　令cn＝＝，下一步用分析法证明<， 要证<，即证<， 即证(4n＋6)(3n－1)<(2n＋1)(3n＋1－1)， 即证－2n－5<(2n－3)3n， 当n∈N*时，显然成立，所以<， 所以c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋ ≤＋×＋…＋× ＝×＝3<3. 感悟