数列的最值及奇偶项讨论问题-2023届新高考数学大一轮复习真题源专题讲义

本资料分享自新人教版高中数学资源大全QQ群323031380 期待你的加入与分享 补上一课 ,数列的最值及奇偶项讨论问题) 1．数列是一种特殊的函数，数列的最值、范围问题与函数的最值(范围)问题相类似，一般常借助单调性解决． 2．在数列中，经常出现某一项符号与项数n有关的问题，此类问题常通过讨论n的奇偶性求解． 题型一　项的最值问题 【例1】 设等差数列{an}前n项和为An，等比数列{bn}前n项和为Bn.若Bn＋3＝8Bn＋7，a1＝b2，a4＝b4. (1)求bn和An； (2)求数列{bn－An}的最小项． 解　(1)法一　设等差数列{an}的公差为d，设等比数列的公比为q，由Bn＋3＝8Bn＋7，可得b1＋b2＋b3＋(b4＋…＋bn＋3)＝b1＋b2＋b3＋q3Bn＝8Bn＋7， 则q3＝8，b1＋b2＋b3＝7，解得q＝2，b1＝1. 则bn＝2n－1； 由a1＝b2＝2，a4＝b4＝8， 可得d＝2，An＝2n＋×2×n(n－1)＝n2＋n； 法二　Bn＋3＝8Bn＋7，Bn＋4＝8Bn＋1＋7， 两式相减得bn＋4＝8bn＋1，故q＝2. (2)设cn＝bn－An＝2n－1－n2－n， cn＋1－cn＝2n－(n＋1)2－n－1－(2n－1－n2－n)＝2n－1－2(n＋1)， 当n≤4时，cn＋1<cn；当n≥5时，cn＋1>cn， 可得数列{bn－An}的最小项为c5＝－14. 感悟升华　(1)确定数列的最值(即项的最值)，一般应先求出通项公式； (2)数列的最值常通过数列的单调性求解； (3)有些情况下可通过不等式组(如或)解决． 【训练1】 (1)若数列中的最大项是第k项，则k＝________． (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝ n∈N*，则an＝________；若a5是{an}中的最大值，则实数a的取值范围是________． 答案　(1)4　(2)a≥ 解析　(1)由题意知 解得≤k≤1＋.∵k∈N*，∴k＝4. (2)当2≤n≤4时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2，n＝1时，a1＝S1＝1，不满足上式；当n≥6时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋a；当n＝5时，a5＝S5－S4＝5a－45，∴an＝ 由题意，a5是{an}中的最大值， ∴5a－45≥8且5a－45≥－12＋a，∴a≥. 题型二　前n项和(或积)的最值 【例2】 (2014·浙江卷)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*)．若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2. (1)求an与bn； (2)设cn＝－(n∈N*)，记数列{cn}的前n项和为Sn. ①求Sn； ②求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn. 解　(1)由题意a1a2a3…an＝()bn，b3－b2＝6， 知a3＝()b3－b2＝8. 又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2，舍去)， 所以数列{an}的通项为an＝2n(n∈N*)． 所以，a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)． 故数列{bn}的通项为bn＝n(n＋1)(n∈N*)． (2)①由(1)知cn＝－＝－(n∈N*)， 所以Sn＝－(n∈N*)． ②因为c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0； 当n≥5时， cn＝， 而－＝>0， 得≤<1， 所以，当n≥5时，cn<0. 综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4. 感悟升华　(1)此类问题常构造函数，利用单调性解决； (2)和式最值有时也可通过找分界项(与零的关系)求解． 【训练2】 (2020·金丽衢十二校二联)设数列{an}的前n项和为Sn，满足：an＋Sn＝(n∈N*)． (1)求证：数列为等比数列； (2)求Sn，并求Sn的最大值． (1)证明　因为an＋Sn＝，① 所以an－1＋Sn－1＝(n≥2)，② 由①－②可得， 当n≥2时，2an－an－1＝－， 整理得2＝an－1＋. 又a1＋＝， 所以数列是首项、公比均为的等比数列． (2)解　由(1)得an＋＝， 所以an＝－＝－， 所以Sn＝1－－， 所以Sn＝－. 因为an＝－＝， 令函数f(n)＝－1， 则f(n＋1)－f(n)＝， 所以f(1)<f(2)＝f(3)>f(4)>…. 又f(1)＝0，f(4)>0，f(5)<0， 所以当n≥5时，an<0，即Sn－1>Sn， 当n≤4时，Sn－1≤Sn， 因此Sn的最大值为S4＝. 题型三　项或积的代数式的最值 【例3】 (1)已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值为(　　) A．16 B．8 C．6 D．4 (2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7＝5，S5＝－55，则nSn的最小值为(　　) A．－343 B．－324