利用圆锥曲线的二级结论秒解选择、填空题-2023届新高考数学大一轮复习真题源专题讲义

本资料分享自新人教版高中数学资源大全QQ群323031380 期待你的加入与分享 补上一课 ,利用圆锥曲线的二级结论秒解选择、填空题) 1．焦点三角形的面积、离心率 (1)设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则 ①|PF1||PF2|＝；②S△PF1F2＝b2tan ；③e＝. (2)设P点是双曲线－＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则 ①|PF1||PF2|＝；②S△PF1F2＝；③e＝. 2．中心弦的性质 设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则kAP·kBP＝e2－1. 3．中点弦的性质 设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k. (1)若圆锥曲线为椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则kAB＝－，kAB·kOM＝e2－1. (2)若圆锥曲线为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，则kAB＝，kAB·kOM＝e2－1. (3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则kAB＝. 4．焦点弦的性质 (1)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且||＝λ||，则椭圆的离心率等于. (2)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A，B两点，且||＝λ||，则双曲线的离心率等于||. (3)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，则两焦半径长为，，＋＝，|AB|＝，S△AOB＝. 题型一　椭圆焦点三角形的面积、离心率 【例1】 在椭圆＋＝1上，△PF1F2为焦点三角形，如图所示． (1)若θ＝60°，则△PF1F2的面积是________； (2)若α＝45°，β＝75°，则椭圆离心率e＝________． 答案　(1)3　(2) 解析　(1)由焦点三角形公式，得S△PF1F2＝b2tan ，即S△PF1F2＝3. (2)由公式e＝＝＝. 【训练1】 (1)若P是＋＝1上的一点，F1，F2是其焦点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________． (2)在椭圆Ax2＋By2＝1上，△PF1F2为焦点三角形，∠PF2O＝45°，∠PF1O＝15°，则椭圆的离心率e＝________． 答案　(1)　(2) 解析　(1)S△F1PF2＝b2tan ＝64×＝. (2)由公式e＝，即得e＝. 题型二　中心弦的性质 【例2】 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B，点P在椭圆上异于A，B两点，若AP与BP的斜率之积为－，则椭圆的离心率为________． 答案　 解析　kAP·kBP＝－，e2－1＝－， ∴e2＝，e＝. 【训练2】 (1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，实轴的两个端点为A，B，点P为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线PA与PB的斜率之积为________． (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，B、C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D，e＝，若cos∠F1BF2＝，则直线CD的斜率为________． 答案　(1)3　(2) 解析　(1)kPA·kPB＝e2－1＝3. (2)设∠DBO＝θ，则cos∠F1BF2＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝，cos2θ＝，cos θ＝，利用Rt△F2OB易知kBD＝－，e＝，由kBD·kCD＝e2－1，得kCD＝. 题型三　中点弦的性质 【例3】 已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由题意可知kAB＝＝1，kMO＝＝，由双曲线中点弦中的斜率规律得kMO·kAB＝，即＝，又9＝a2＋b2，联立解得a2＝4，b2＝5，故双曲线的方程为－＝1. 【训练3】 (1)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 (2)(一题多解)(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________． 答案　(1)D　(2)2 解析　(1)c＝3，a2－b2＝9，AB的中点记为P(－1，1)，由kAB·kOP＝e2－1则 (－1)×＝－， ∴a2＝2b2，解得a2＝18，b2